J'ai un exercice où je ne comprend pas la dernière question. Je vous donne l'énoncé entier : 1)A et B sont deux points du plan, I est le milieu de [AB]. Montrer que, pour tout point M du plan, on a MA²+MB²=2MI²+(AB²)/2 On pourra écrire (vecteur)MA=(vec)MI+(vec)IA et (vec)MB=(vec)MI+(vec)IB 2) En déduire, si G est le centre de gravité d'un triangle ABC, que GC²=2/9(CA²+CB²-AB²/2). En déduire que GA²+GB²+GC²=1/3(AB²+AC²+BC²)
en vecteur
MA=MI+IA==> MA^2=(MI+IA)^2=MI^2+2MI*IA+IA^2
MB=MI+IB===> MB^2=(MI+IB)^2=MI^2+2MI*IB+IB^2
or vecteur IB=-vecteur IA
2MI*IA+2MI*IB=2MI*IA-2MI*IA=0
et en longueur IA=IB=1/2 AB=AB/2
IA^2=IB^2=AB^2/4
IA^2+IB^2=AB^2/2
==> MA^2+MB^2=MI^2+MI^2+AB^2/2=2MI^2+AB^2/2
