ABC est un triangle équilatéral de coté 12cm et I est le milieu du segment [AB].
M est un point variable du segment [AI] et N est le point du segment [AB] tel que BN=AM ; Q est le point du segment [BC] et P le pont du segment [AC tels que le quadrilatère MNQP soit un rectangle.
On note f la fonction qui à x=AM associe l'aire en cm^2 de MNQP.
1) quel est l'ensemble de définition de f?
2) calculer f(x) en fonction de x
3) calculer f(3), puis vérifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;6] ,
f(x) -f(3) = -2racine carré de3(x-3)^2
4) en déduire que f représente un maximum sur son ensemble de définition en un réel que l'on précisera.
Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale?
1) Df=[0 ; 6]
2) f(x)=Aire(MNQP)=MN x MP
MN=12-2x
MP/AM=tan(pi/3), donc MP=AM * tan(pi/3)= x racine(3)
Donc f(x)=x(12-2x)racine(3)
3) f(3)=3*6*racine(3)=18* racine(3)
4) f(x)-f(3)=(12x-2x²)racine(3) - 18racine(3)=racine(3) ( 12x-2x²-18)=2racine(3)(6x-x²-9)=2racine(3)(-x²+6x-9)
D'autre part -2racine(3)(x-3)²=2racine(3) ( -(x-3)² ) = 2racine(3) ( -x²+6x-9)=f'x)-f(3) cqfd
5) f est maximum en x=3 et vaut f(3)=18 * racine(3) cm²
