Répondre :
sa dérivée est 3/2-1/(x+1)² soit (3(x+1)²-2)/(2(x+1)²
elle a donc le signe de 3(x+1)²-2 soit 3(x+1-rac(2/3))(x+1+rac(2/3))
elle s'annule ainsi 2 fois en x1<0 et x2<0
elle est >0 endehors de ses racines. donc f croit puis decroit puis croit. et en particulier elle croit sur [0,1] entre f(0)=0 et f(1)=1
comme x-f(x) a pour dérivée 1-f'(x) soit (-1/2)+1/(x+1)² ou (2-(x+1)²)/(2(x+1)²
elle est du signe de 2-(x+1)² qui sur [0,1] décroit de 1 à -2 : elle s'annule qq part entre 0 et 1 (exactement en x=V2-1) et x-f(x) croit de 0 à V2-1-f(V2-1) puis decroit de cette valeur à 1-f(1)=0