ABC est un triangle équilatéral de côté 12 cm et I est le milieu du segment [AB] M est un point variable du segment [AI ] et N le point du segment [AB] distinct de M tel que AM =NB Q est le point du segment [BC]et P est le point du segment [AC] tels que MNQP soit un rectangle On note f la fonction qui à x = AM (en cm) associe l'aire, en cm carrée, du rectangle MNQP a) Quel est l'ensemble de définition de f ? b) Exprimer MN, puis MP en fonction de x. En déduire l'expression algébrique de f (x) c) Calculer f (3), puis vérifier que pour tout x de [0;6[ : f(x) - f(3) = -2 racine carrée de 3 (x-3) au carrée d)EN déduire que f(3) est le maximum de f sur [0;6[ e)Quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale?
Soit CI la hauteur du triangle ABC. le triangle CAI est rectangle---> CI² = AC² - AI² = 144-36=108
CI = 6rac(3)
Dans le triangle AIC ,PM //CI,on a donc une configuration de Thalès et PM/6rac(3) = x/6
donc PM = 6rac(3) / 6 = x . rac(3)
MN = 12 - 2x
f(x) = x . rac(3).(12-2x) = 2rac(3).(6x - x²)
de toutes façons l'ensemble de définition de f(x) est [0;6] voir la figure c'est évident
f(3) = 18rac(3)
f(x) - f(3) = 2rac(3).(6x - x²) - 18rac(3) = -2rac(3)(x² - 6x +9) = -2rac(3)(x - 3)²
le maximum de cette différence sera atteint quand x = 3 et c'est aussi le maximum de f(x) sur [0;6]
les dimensions de ce rectangle seront 6 et 3rac(3)
