Website Statistics Bonjour je suis actuellement en BTS et nous avons à rendre un dm de maths que jarrive absolument pas à faire On considère la fonction numérique f définie sur li
résolu

Bonjour, je suis actuellement en BTS et nous avons à rendre un dm de maths que j'arrive absolument pas à faire.

 

On considère la fonction numérique f, définie sur l'intervalle ]0;e] F(x)=x-(lnx)/x

 

1/ a) Etudier, suivant les valeurs réels x, le signe de x - f(x) sur l'intervalle ]0;e]

 

b) En déduire la position relative de la courbe C et de la droite

 

2/ a) Determiner la fonction dérivée g' de la fonction numérique g definie sur l'intervalle ]0;e] par g(x)= (lnx)2 En déduire sur cet intervalle, une primitive de la fonction qui, a x, associe lnx/x

 

b) Calculer en cm3, l'aire de la partie du plan limité par la courbe C, la droite et les droites d'équations x=1 et x=e

 

Cordialement,

Répondre :

Aeneas

;e]. On a :

x - f(x) = x-x+ln(x)/x = ln(x)/x. x est toujours positif d'après l'intervalle sur lequel il est défini.1) a) Soit x dans ]0

Or, ln(x) < 0 sur ]0;1[ et ln(x) > 0 sur ]1;e].

Donc x-f(x) < 0 sur ]0;1[ et x-f(x) >ou=0 sur [1;e]

 

b)J'imagine qu'il s'agit de la courbe f(x)=x-ln(x)/x et de la droite g(x) = x

On a alors : la courbe en dessous de la droite sur [1;e] et au dessus de la droite sur

]0;1].

 

2) a) On a g(x) = ln(x)²

g'x) = 2ln(x)/x

Donc (1/2) ln(x)² est une primitive de la fonction qui a x associe ln(x)/x.

 

b) Il s'agit là de déterminer l'intégrale de 1 à e, de C(x), c'est à dire : de calculer :

[x²/2 - (1/2)ln(x)²] entre les bornes 1 et e.

Donc L'aire est égale à : e²/2-1/4-1/2 = e²/2-3/4.

 

FIN

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