1)
U1=1/2
U2 = (1/3) + (1/4) = 7/12
U3 = (1/4) + (1/5) + (1/6) = 37/60
U4 = (1/5) + (1/6) + (1/7) + (1/8) = 533/840
2)
Un-1 - Un = 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/2n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)
- 1/(n+1) - 1/(n+2) - 1/(n+3) - ...- 1/2n
Par soutraction terme à terme :
Un-1 - Un = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)
Un-1 - Un = 1/(2n+1) + 1/2(n+1) - 1/(n+1)
Un-1 - Un = 1/(2n+1) - 1/2(n+1)
Un-1 - Un = [2(n+1) - (2n+1)] / [2(n+1)(2n+1)]
Un-1 - Un = [2n+2 - 2n-1] / [2(n+1)(2n+1)]
Un-1 - Un = 1 / [2(n+1)(2n+1)]
Comme n>0, Un+1 - Un > 0
Donc Un<Un+1 => (Un) est croissante sur N*
3) a)
f'(x)= 1/x - 1
f'(x)=0 <=> 1/x - 1 = 0
<=> 1 = x
f'(x)>0 <=> x<1 et f'(x)<0 <=> x>1
Donx f est strictement croissante sur ]0,1[ et strictement décroissante sur ]1,+inf[
f atteint son maximum en 1.
f(1)=ln(1) - (1-1) = 0
Donc pour tout x>0, f(x) ≤ 0
donc pour tout x>0, lnx ≤ x-1
3) b)
Changement de varaible X = 1/x
pour tout x>0, lnx ≤ x-1
Donc ln(1/X) ≤ (1/X)-1
Or ln(1/X)=-ln(X)
Donc -ln(X) ≤ (1/X)-1
1 - (1/X) ≤ ln(X)
