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Objectif : résoudre algébriquement l'inéquation x -1 sur x -2 ≥ 4.
1. déterminez la valeur de x qui annule le dénominateur
a) Justifiez que l'inéquation est équivalente à :
(x-1) - 4 (x-2) sur x - 2 ≥ 0
puis à, -3x + 7 sur x-2 ≥ 0, x ≠ 2.
b) Dressez le tableau de signes de -3x + 7 sur x-2, puis terminez la résolution.
1) le dénominateur s'annule pour x-2 = 0 c'est à dire pour x = 2
Soit x∈R\{2}
a) On a (x-1)-4(x-2) / (x-2) = (x-1)/(x-2) - 4
Ainsi résoudre (x-1)/(x-2) ≥ 4 revient à résoudre (x-1)/(x-2) - 4 ≥ 0
Donc à résoudre (x-1)-4(x-2) / (x-2) ≥ 0
Or, (x-1)-4(x-2) = x-1-4x+8 = -3x+7
L'inéquation est donc équivalente à (-3x+7)/(x-2) ≥ 0
b) Tableau de signe :
x -∞ 2 7/3 +∞
-3x+7 | + || + | -
x-2 | - || + | +
(-3x+7)/(x-2) | - || + | -
Au final, l'ensemble des solutions à l'inéquation est :
S = ]2;7/3]
FIN
