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résolu

On considère la fonction f définie pour tout x réel par : f(x) = 4(x+3)²-25 (forme A).

1-a) Développer f(x) (forme B).

b) Factoriser f(x) (forme A).

 

2. Choisir la forme la plus adaptée (forme A,B ou C) pour calculer :

a) f(0)                     b) f(-3)                   c) f(0,5)

 

3. Choisir la forme la plus adaptée pour résoudre :

a) f(x) = 0               b) f(x) = 11            c) f(x) = -16

4-a) Choisir la forme la plus adaptée pour montrer que f(x) > (ou égal) -25 pour tout nombre x.

b) En déduire le minimum de f.

5. Si on considère la courbe représentative Cf de la fonction f dans le plan muni d'un repère, choisir la forme qui permet de trouver le plus simplement :

a) Le (ou les) point(s) éventuel(s) d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des abscisses.

b) Le point d'intersection de la courbe Cf avec l'axe des ordonnées.

Répondre :

1 -a  >  (x+3)² =x² + 6x+9

4 (x+3)² = 4x² + 24x +36

4 (x+3)² - 25 = 4x² + 24x +36 - 25 = 4x² + 24x +11  ( forme B )

 

1-b  >   différence de 2 carré a² - b² = ( a+ b ) ( a-b)                   4(x+3)²-25

            [ 2( x+3) - 5]  [ 2 (x+3) +5]= ( 2x+1 ) ( 2x+11)

 

2 a > f(0) = ?     4x² + 24x +11   donc f(0) = 11

   b > f(-3) =  ?  4(x+3)²-25  f(-3) = -25

   c > f(-16) = ?     ( 2x+1 ) ( 2x+11)  --> -31 X -21 = 651

 

 

3  a > f(x)=0    ( 2x+1 ) ( 2x+11)  2x+1=0   x=- 1/2 et 2x+11=0   x= -11/2

   b >    f(x) =11   4x² + 24x +11=11    4x² + 24x =0    4x(x+6) =0  donc x=0 et x= - 6

   c  >   f(x) = -16      4(x+3)²-25= -16      4(x+3)²-25+16=0        4(x+3)²--9 = 0

là encore a² - b² = ( a+ b ) ( a-b) donc 4(x+3)²--9 = ( 4x+9) (4x+15) = 0 donc x=-9/4 et x = -15/4

 

4-a)   f(x) > (ou égal) -25

   4(x+3)²-25> ou = -25      4(x+3)² > ou = 0

f(x) sera toujours positive car un carré est toujours positif et fx sera égale à 0 pour x= -3

b >  le minimum de f sera donc pour x= -3     f(-3) = -25   voir  2b

 

5 a > ( 2x+1 ) ( 2x+11) la courbe coupera l'axe des abscisses pour ( 2x+1 ) =0 et pour

 ( 2x+11)=0  donc pour x= -1/2 et pour x= -11/2

b > pour f(o) donc 4x² + 24x +11   donc f(0) = 11 la courbe coupera l'axe des ordonnées au point x=0 et y = 11

 

 

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