une entreprise fabrique chaque semaine x kilogrammes d'un produit P destiné à l'industrie pharmaceutique ( [tex](0 \leq x \leq 45)[/tex].
le coût unitaire de production ,en euros est modélisé par la fonction f définie sur [ 0:45] par F(x)= x² - 50x + 700.
1) déterminer le coût unitaire de production d'un kilogramme de produit P lorsque l'entreprise en a fabriqué 40 kg.
2) En déduire graphiquement la quantité de produit pour laquelle le coût unitaire de production est inférieur ou égal à 100 €.
3) Chaque kilogramme du produit est vendu 988€.
a) montrer que le coût total de production est modélisé par la fonction c définie sur [0;45] par c(x) = x(cube) - 50x² +700x.
b) en déduire le bénéfice b(x) réalisé par l'entreprise pour x kilogrammes du produit fabriqué et vendu.
c) calculer b' (x) puis étudier son signe. En déduire le sens de variation de la fonction b et dresser son tableau de variation.
d) A partir de quelle quantité de produit vendu le bénéfice baisse -t-il ?
F(40) = 1600-2000+700=300
x²-50x+700<100 pour x entre 20 et 30
c(x) c'est bien sur x*f(x) donc x^3-50x²+700x
b(x) vaut 988x-c(x) soit -x^3+50x²+288x
b'(x)=-3x²+100x+288 delta = 10000+12*288=116² donc racines (-100-116)/-6 ou 36 et (-100+116)/-6 ou -8/3
b' est positive sur 0,36 et négative ensuite
b est donc croissante sur 0,36 et decroissante ensuite