Répondre :
Explications étape par étape:
il faut factoriser.
a² - b² = (a + b)(a - b)
(x - 3)² - 4 = (x - 3)² - 2² = 0
(x - 3 + 2)(x - 3 - 2) = 0
(x - 1)(x - 5) = 0
Soit x - 1 = 0 alors x = 1
Soit x - 5 = 0 alors x = 5
- Réponse:
[tex] \Large{\boxed{\sf S = \{ 1 \ ; \ 5\}}} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
- Explications:
[tex] \\ [/tex]
1) Réflexion préliminaire
Pour reussir en maths, il ne suffit pas de faire ou d'apprendre; il faut comprendre.
Dans ta question, quelque chose doit te faire réagir: "équation produit nul."
Tout de suite, un sursaut: où est le produit dans cette équation?
Il n'est pas là, mais tes professeurs ne donnent pas des exercices juste pour faire beau; ils le font pour faire appliquer une méthode.
Mais alors, que faire pour transformer le membre gauche de l'équation en un produit?
On FACTORISE.
Mais alors, comment faire?
[tex] \\ [/tex]
2) Méthode
Tu as sans doute déjà entendu parler des identités remarquables en cours, sinon je ne vois pas vraiment le but de l'exercice.
Pour plus de compréhension, je les écris ici:
- [tex] \sf (a + b)^2 = a^2 +2ab +b^2 [/tex]
- [tex] \sf (a - b)^2 =a^2 - 2ab + b^2 [/tex]
- [tex] \sf (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 [/tex]
De la forme factorisée (produit) vers la forme développée (somme).
Mais laquelle utiliser?
Essayons de voir ce qu'on pourrait faire avec cette équation.
[tex] \sf (x-3)^2 -4 = 0 [/tex]
On peut alors écrire:
[tex] \sf (x - 3)^2 - 2^2 = 0 [/tex]
Tiens donc! Mais quelle est cette forme? Ne serait-ce pas a² - b² de la troisième identité remarquable?
Et bien si, avec a = x - 3 et b = 2.
On trouve donc:
[tex] \sf (x-3)^2 -2^2 = 0 \\ \sf (x - 3 -2)(x-3+2) =0 \\ \sf (x-5)(x-1) =0 [/tex]
Et là on a une belle équation produit nul.
Comme d'habitude, on dit que un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Donc:
[tex] \sf x - 5 = 0 \\ \sf \boxed{\sf x = 5} [/tex]
Ou
[tex] \sf x - 1 = 0 \\ \sf \boxed{\sf x = 1} [/tex]
[tex] \ [/tex]
D'où l'ensemble des solutions est:
[tex] \boxed{\sf S = \{ 1 \ ; \ 5\}} [/tex]