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Bonsoir ! D'accord, abordons ces points étape par étape pour la fonction \(f(x) = |x + 2| + |x - 2| + 1\).
### 1) Étudier la parité de la fonction f
Une fonction \(f\) est dite **paire** si pour tout \(x\) dans l'ensemble de définition, \(f(-x) = f(x)\), et elle est dite **impaire** si \(f(-x) = -f(x)\). Testons cela pour \(f\).
Pour \(f(-x)\), on remplace \(x\) par \(-x\):
\[f(-x) = |-x + 2| + |-x - 2| + 1\]
Simplifions cela:
\[f(-x) = |-(x - 2)| + |-(x + 2)| + 1\]
\[= |x - 2| + |x + 2| + 1\]
Nous constatons que \(f(-x) = f(x)\), ce qui signifie que \(f\) est une fonction paire.
### 2) Donner une expression simplifiée de \(f(x)\) et étudier les variations de la fonction f
Pour simplifier \(f(x)\) et étudier ses variations, examinons le comportement de \(f\) dans différents intervalles définis par les points où les expressions à l'intérieur des valeurs absolues s'annulent, c'est-à-dire \(x = -2\) et \(x = 2\).
- **Pour \(x < -2\)**, les deux expressions à l'intérieur des valeurs absolues sont négatives. Ainsi, \(f(x) = -(x + 2) - (x - 2) + 1 = -2x - 1\).
- **Pour \(-2 \leq x < 2\)**, la première valeur absolue devient positive et la seconde reste négative. Donc, \(f(x) = (x + 2) - (x - 2) + 1 = 4 + 1 = 5\).
- **Pour \(x \geq 2\)**, les deux valeurs absolues deviennent positives. Ainsi, \(f(x) = (x + 2) + (x - 2) + 1 = 2x + 1\).
Maintenant, étudions les variations de \(f(x)\):
- Dans l'intervalle \(x < -2\), \(f(x)\) décroît car son coefficient devant \(x\) est négatif.
- Entre \(-2\) et \(2\), \(f(x)\) est constant, égal à \(5\).
- Pour \(x > 2\), \(f(x)\) croît puisque son coefficient devant \(x\) est positif.
### 3) Tracer la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormé
Je vais décrire le graphique étant donné que je ne peux pas tracer physiquement ici :
- **Pour \(x < -2\)**, la ligne descend avec une pente de \(-2\) jusqu'à atteindre \(x = -2\), où \(f(x) = 5\).
- **Entre \(-2\) et \(2\)**, le graphique est une ligne horizontale à \(f(x) = 5\).
- **Pour \(x > 2\)**, la courbe commence à \(f(x) = 5\) quand \(x = 2\) et monte avec une pente de \(2\).
Pour tracer la courbe, dessinez un repère orthonormé. Marquez les points où \(x = -2\) et \(x = 2\) sur l'axe des abscisses. À ces points, la fonction vaut \(5\). Ensuite, tracez une ligne droite décroissante pour \(x < -2\), une ligne horizontale pour \(-2 \leq x \leq 2\), et enfin une ligne droite croissante pour \(x > 2\).