ABCDEFGH est un cube de 3 cm de côté. IABCD et JEFGH sont deux pyramides
à base carrée de sommet respectif I et J tel que 1e (AE), Je (GC) et
Al-GJ-15cm.
Questions préliminaires:
1. Calculer la longueur AC.
2. Justifier que les points 1 et J sont dans le plan du quadrilatère ACGE.
3. Quelle est la nature du quadrilatère EACG ? Justifier.

PARTIE 1
On se place dans le plan (EIJ). On veut savoir si le
quadrilatère EICJ est un quadrilatère particulier
1. Calculer la longueur Cl.
2. Calculer IJ scalaire EC

3.En déduire la nature du quadrilatère EICJ. Justifier
4. Que peut-on dire du point O,, intersection des
droites (IJ) et (EC), par rapport aux quadrilatères
EICJ et EACG ?

PARTIE 2
On se place dans le plan (HBJ). On se demande
si les droites (HB) et (IJ) sont perpendiculaires.
1. Justifier que le point I appartient bien au plan
(HBJ).
2. En se plaçant dans le plan (BCG), calculer la
longueur JB.
3. En se plaçant dans le plan (ABF), calculer la
longueur IB.
Calculer le produit scalaire HB-IJ.
5. Conclure.
6. Que peut-on en déduire pour le point O2, intersection des droites (HB) et (IJ)?

PARTIE 3:
On se place dans le plan (IDF). On se demande si les droites (DF) et (IJ) sont perpendiculaires.
1. Justifier que le point J appartient bien au plan (IDF).
2. En se plaçant dans le plan (DCG), calculer la
longueur JD.
3. En se plaçant dans le plan (ADH), calculer la
longueur DI.
4. Calculer le produit scalaire DF-IJ
5. Conclure.
6. Que peut-on en déduire pour le point O3, intersection des droites (DF) et (IJ)?

PARTIE 4
On étudie un cas plus général : le cube ABCDEFGH
est de côté c cm. On cherche à déterminer la longueur Al qui rendrait nul le produit scalaire IJ-EC.

Rappel: Al-GJ.

1. Calculer la longueur AC.
2. Quelle doit être la longueur Al pour que le produit scalaire IJ-EC soit nul?
3. Conclure.

MISE EN COMMUN
1. Quelles sont les natures des quadrilatères EICJ,
JDIF et HIBJ?
2. Comment construire le quadrilatère EICJ à partir de EACG pour que le résultat précédent reste vrai ?
3. Que peut-on en déduire par rapport à la position
des grandes diagonales du cube: (EC), (AG).
(DF), (HB) et de la droite (IJ)?