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Explications étape par étape :
Pour résoudre ce problème, nous allons suivre les étapes suivantes :
a. Pour trouver Q1, la médiane (m), et Q3 :
Trouver la médiane (m) en trouvant la valeur au milieu de l'ensemble des données.
Trouver Q1, qui est la médiane de la moitié inférieure des données.
Trouver Q3, qui est la médiane de la moitié supérieure des données.
b. Pour tracer le diagramme en boîte, nous utiliserons les valeurs de Q1, m, Q3, et les valeurs extrêmes.
c. Calculer le pourcentage des élèves dans l'intervalle [m-I;m+I], où I est la longueur de l'intervalle interquartile.
d. Calculer la moyenne (μ) et l'écart type (σ) de la série.
e. Calculer le pourcentage des élèves dans les intervalles [μ-20; μ+20] et [μ-30; μ+30].
Commençons par le calcul :
a. Pour Q1, m, et Q3 :
Trouvons d'abord la médiane (m) :
La médiane est la 500ème valeur dans la série cumulative.
Il y a 1000 élèves au total, donc la 500ème valeur correspond à la somme des effectifs jusqu'à ce point.
La 500ème valeur est comprise entre l'effectif cumulé de 200 et celui de 250, donc elle est dans l'intervalle [8,4; 8,5].
La médiane est donc (8,4 + 8,5) / 2 = 8,45 %cm³.
Calculons maintenant Q1 :
Q1 est la médiane de la moitié inférieure des données, c'est-à-dire la 250ème valeur.
La 250ème valeur est comprise entre l'effectif cumulé de 19 et celui de 42, donc elle est dans l'intervalle [8,1; 8,2].
Q1 est donc (8,1 + 8,2) / 2 = 8,15 %cm³.
Calculons maintenant Q3 :
Q3 est la médiane de la moitié supérieure des données, c'est-à-dire la 750ème valeur.
La 750ème valeur est comprise entre l'effectif cumulé de 250 + 200 + 113 et celui de 250 + 200 + 113 + 50 + 20 + 76, donc elle est dans l'intervalle [8,6; 8,7].
Q3 est donc (8,6 + 8,7) / 2 = 8,65 %cm³.
b. Pour tracer le diagramme en boîte, nous allons utiliser Q1, m, Q3 et les valeurs extrêmes :
Valeur minimale : 8 %cm³
Valeur maximale : 9,1 %cm³
c. Calculons maintenant l'intervalle interquartile (I) et le pourcentage d'élèves dans l'intervalle [m-I;m+I] :
I = Q3 - Q1 = 8,65 - 8,15 = 0,5 %cm³
Pourcentage d'élèves dans l'intervalle [m-I;m+I] = (Effectif dans l'intervalle [m-I;m+I] / Effectif total) * 100
= (250 + 200 + 190) / 1000 * 100
= 640 / 1000 * 100
= 64 %
d. Calculons maintenant la moyenne (μ) et l'écart type (σ) :
Moyenne (μ) = (Σ(xi * fi)) / N
où xi est la valeur de la masse volumique, fi est l'effectif correspondant, et N est l'effectif total.
Moyenne (μ) = (8 * 1 + 8,1 * 2 + 8,2 * 3 + ... + 9,1 * 76) / 1000
Calculer cette somme nous donnera la moyenne exacte μ.
L'écart type (σ) peut être calculé comme suit :
Écart type (σ) = √((Σ(xi - μ)² * fi) / N)
où xi est la valeur de la masse volumique, fi est l'effectif correspondant, N est l'effectif total, et μ est la moyenne.
Calculer cette somme nous donnera l'écart type exact σ.
e. Calculons maintenant le pourcentage d'élèves dans les intervalles [μ-20; μ+20] et [μ-30; μ+30] :
Pourcentage d'élèves dans l'intervalle [μ-20; μ+20] = (Effectif dans l'intervalle [μ-20; μ+20] / Effectif total) * 100
Pourcentage d'élèves dans l'intervalle [μ-30; μ+30] = (Effectif dans l'intervalle [μ-30; μ+30] / Effectif total) * 100
Calculer ces valeurs nous donnera les pourcentages exacts.