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a) Pour l'équation \((x + 1)^2 - 4 = (x + 5)(x - 2)\), nous allons développer et simplifier chaque côté pour voir si l'égalité est toujours vraie.
b) Pour l'équation \(x^2 + 2x = -4x\), nous allons simplifier et résoudre l'équation quadratique pour déterminer s'il existe un \( x \) réel qui la satisfait.
c) Pour l'équation \((x + 3)^2 + 2x = (x + 2)^2 + 4x + 5\), nous développerons et simplifierons les deux côtés pour vérifier l'identité pour tout \( x \).
d) Pour l'équation \((x + 1)(x + 2) = 3x + 1\), nous allons développer le côté gauche et simplifier l'équation pour voir s'il existe un \( x \) qui la rend vraie.
e) Pour l'égalité \(\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2x + 2}\), nous allons simplifier et résoudre pour \( x \) pour vérifier si un tel \( x \) existe.
Commençons par résoudre la première équation (a). Pour cela, je vais développer et simplifier les deux côtés de l'équation.
Pour l'équation a, en développant et simplifiant les deux côtés, nous obtenons:
Côté gauche: \(x^2 + 2x - 3\)
Côté droit: \(x^2 + 3x - 10\)
Ces deux expressions ne sont pas équivalentes pour tout \( x \), donc la proposition a est fausse.
Passons maintenant à l'équation b. Nous allons simplifier et résoudre l'équation quadratique pour voir s'il existe un \( x \) qui la satisfait.
b) Après simplification, l'équation devient \( x^2 + 2x = -4x \). En résolvant cette équation, nous trouvons deux solutions pour \( x \): \( x = -6 \) et \( x = 0 \). Cela signifie qu'il existe bien des valeurs réelles de \( x \) qui satisfont l'équation, donc la proposition b est vraie.
Maintenant, examinons l'équation c. Nous allons développer les deux côtés et les comparer pour voir si l'égalité est vraie pour tout \( x \).
Pour l'équation c, en développant et simplifiant les deux côtés, nous obtenons:
Côté gauche: \( x^2 + 8x + 9 \)
Côté droit: \( x^2 + 8x + 9 \)
Les deux expressions sont identiques pour tout \( x \), donc la proposition c est vraie.
d) Nous allons développer le côté gauche et simplifier l'équation pour vérifier s'il existe un \( x \) qui la rend vraie.
d) Après avoir développé le côté gauche et égalisé avec le côté droit, l'équation devient \( (x + 1)(x + 2) = 3x + 1 \). En résolvant cette équation, nous trouvons que les solutions sont \( x = -i \) et \( x = i \), où \( i \) est l'unité imaginaire. Ces solutions ne sont pas des nombres réels, donc il n'existe aucun nombre réel \( x \) qui satisfasse cette équation. La proposition d est donc fausse.
Examinons maintenant l'équation e. Nous allons simplifier et résoudre pour \( x \) pour déterminer s'il existe un tel \( x \) réel.
e) Nous avons l'égalité \(\frac{1}{x + 1} = \frac{1}{2(x + 1)}\). En résolvant cette équation, nous constatons qu'il n'y a pas de solution réelle pour \( x \), car cette égalité implique que 1 est égal à \(\frac{1}{2}\), ce qui est clairement faux. Donc, il n'existe aucun réel \( x \) qui satisfait cette équation, et la proposition e est fausse.