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Exercice 2: Fonction et dérivation.
1. Étudier le signe de la fonction P définie sur R par P(x) = x²+4x+3.
P(x) = x² + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)
x - ∞ - 3 - 1 + ∞
x + 3 - 0 + +
x + 1 - - 0 +
P(x) + 0 - 0 +
P(x) ≥ 0 sur ]- ∞ ; - 3] et sur [- 1 ; + ∞[
P(x) ≤ 0 sur l'intervalle [- 3 ; - 1]
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]-2; +∞[ par
f(x) = (x²+x-1)/(x+2)
et on note Cr sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle ]-2; +∞[.
2. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]-2; +∞[,
f '(x) = P(x)/(x + 2)²
où f' est la fonction dérivée de f.
f est le quotient de deux fonctions dérivables sur ]- 2 ; + ∞[ donc f est dérivable sur ]- 2 ; + ∞[ et sa dérivée f ' est :
f '(x) = (u/v)' = (u'v - v'u)/v²
u(x) = x² + x - 1 ⇒ u'(x) = 2x + 1
v(x) = x + 2 ⇒ v'(x) = 1
f '(x) = (2x + 1)(x + 2) - (x² + x - 1))/(x + 2)²
= (2x² + 5x + 2 - x² - x + 1)/(x + 2)²
= (x² + 4x + 3)/(x + 2)²
= P(x)/(x + 2)²
3. Étudier le signe de f'(x) sur ]-2; +oo[ et construire le tableau de variations de la fonction f sur ]-2; +∞[.
f '(x) = P(x)/(x + 2)² or (x + 2)² > 0 donc le signe de f '(x) est du signe de P(x) = (x + 3)(x + 1) or x + 3 > 0 car x > - 2
x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1 ⇒ f '(x) ≥ 0 sur [- 1 ; + ∞[ donc f est croissante
sur [- 1 ; + ∞[
x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ - 1 ⇒ f '(x) ≤ 0 sur ]- 2 ; - 1] donc f est décroissante
sur ]- 2 ; - 1]
x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 ⇒ f '(x) = 0
x - 2 - 1 + ∞
f '(x) - 0 +
variation + ∞ →→→→→→→→→→→→ - 1 →→→→→→→→→→→→→→ + ∞
de f(x) décroissante croissante
4. Donner le minimum de la fonction f sur ]-2; +[ et la valeur pour laquelle il est atteint (on donnera les valeurs exactes).
le minimum de la fonction f sur ]- 2 ; + ∞[ est - 1 ; il est atteint en x = - 1
5. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à la courbe Cr au point d'abscisse 2.
y = f(2) + f '(2)(x - 2)
f(2) = (2² + 2 -1)/(2+2) = 5/4
f '(2) = (2² + 4*2 + 3)/(2+2)² = 15/16
y = 5/4 + 15/16(x - 2)
= 5/4 + (15/16)x - 15/8
= 15/16)x - 5/8
merci d’avance !
Explications étape par étape :