Répondre :
Réponse :
f(x) = (x2 + 5) (3x - 1)
fest le produit des fonctions u: x → x2 + 5 et
v: x → 3x -1.
a) Déterminer la dérivée de chacune des fonctions u et v.
u' = 2x
v' = 3
b) En déduire la dérivée de la fonction f.
f' = u'v + uv'
f'(x) = 2x(3x-1) + 3(x^2 + 5)
f'(x) = 6x^2 - 2x + 3x^2 + 15
f'(x) = 9x^2 - 2x + 15 pour tout x appartenant à R
Réponse :a) Dérivée de la fonction u: La fonction u(x) est définie comme u(x) = x^2 + 5. Pour trouver sa dérivée, nous utilisons les règles de dérivation. Voici le calcul :
u(x) = x^2 + 5
Calculons la dérivée de u(x) :
La dérivée de x^2 est 2x.
La dérivée de la constante 5 est 0.
Donc, u’(x) = 2x.
b) Dérivée de la fonction v: La fonction v(x) est définie comme v(x) = 3x - 1. Calculons sa dérivée :
v(x) = 3x - 1
La dérivée de v(x) est simplement 3 (car la dérivée de 3x est 3 et la dérivée de la constante -1 est 0).
Maintenant, trouvons la dérivée de la fonction f(x), qui est le produit de u(x) et v(x) :
f(x) = u(x) * v(x) = (x^2 + 5)(3x - 1)
Utilisons la règle du produit pour dériver f(x) :
La dérivée de u(x) est u’(x) = 2x.
La dérivée de v(x) est v’(x) = 3.
Appliquons la formule du produit : [ f’(x) = u’(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v’(x) ] [ f’(x) = (2x)(3x - 1) + (x^2 + 5)(3) ] [ f’(x) = 6x^2 - 2x + 3x^2 + 15 ] [ f’(x) = 9x^2 - 2x + 15 ]
Donc, la dérivée de la fonction f(x) est f’(x) = 9x^2 - 2x + 15.
Explications étape par étape :