Bonsoir j’ai un dm de maths à rendre dans 1 jour et j’ai vraiment du mal aider.

Dans un contrôle, l'un des exercices propose trois affirmations A, B et C portant sur les Probabilités. Il s'agit, pour chaque question, de répondre par vRAI Ou FAUX.
Maxime ne connaît rien aux probabilités, mals il croit en ses chances... C'est en se reposant entièrement sur le hasard qu'il coche trois cases.
On s'intéresse au nombre de réponses exactes obtenues par Maxime à ce QCM et à la note qui lui sera attribuée selon un
certain barème.
1. Modélisation

a. Est-il réaliste de tenir les issues : « 0 réponse exacte » ; « 1 réponse exacte » ; « 2 réponses exactes » et « 3 réponses exactes », pour équiprobables ?

b. À l'aide d'un arbre illustrant les différents scénarios de réponses possibles, proposer un modèle de loi
équirépartie.

2. Nombre de réponses exactes
On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes de Maxime à ce « jeu ».
a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Calculer son espérance et son écart type.

3. La note de Maxime
Cet exercice est sur neuf points. Le professeur attribue trois points par réponse exacte et pénalise d'un point chaque réponse inexacte.
Le nombre de points obtenus par Maxime sur cet exercice (qui peut être négatif) définit une variable aléatoire S.
a. Déterminer la loi de probabilité de S.
b. Quelle note sur 9, Maxime obtiendrait-il en moyenne à ce VRAI-FAUX sur un grand nombre de QCM ?

4. Quels liens entre S et X ?
a. Montrer que l'on a : 5 = 4X - 3.
b. Quelle relation a-t-on entre E(S) et E(X) ?

c. Si la pénalité par réponse fausse avait été de 3 points (et non de 1), quelle aurait été l'expression de la note s° en fonction de X?
Quelle note, Maxime aurait-il pu alors espérer ?

b. Pour créer un modèle de loi équirépartie, on peut utiliser un arbre de probabilité où chaque branche représente une réponse possible, avec une probabilité égale pour chaque réponse.

2. Nombre de réponses exactes

a. La loi de probabilité de X peut être calculée en utilisant la loi binomiale, car chaque réponse a deux issues possibles (vrai ou faux) avec une probabilité de succès de 0.5.

b. Pour calculer l'espérance et l'écart type, on utilise les formules associées à la loi binomiale.

3. La note de Maxime

a. La loi de probabilité de S peut être calculée en fonction de la loi de probabilité de X et des règles de notation données par le professeur.

b. Pour déterminer la note moyenne de Maxime sur un grand nombre de QCM, on utilise l'espérance de la variable aléatoire S.

4. Quels liens entre S et X ?

a. On peut montrer que la somme des points S est égale à 4 fois le nombre de réponses exactes moins 3 points.

b. La relation entre E(S) et E(X) peut être établie en utilisant les propriétés de l'espérance.

c. Si la pénalité par réponse fausse avait été de 3 points, l'expression de la note s° en fonction de X serait différente, mais la méthode de calcul serait similaire. La note que Maxime aurait pu espérer serait calculée en fonction de cette nouvelle expression.