Explications étape par étape:
Pour déterminer le minimum de la fonction \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \) sur \( \mathbb{R} \), nous allons utiliser la méthode des dérivées.
1. Tout d'abord, calculons la dérivée de la fonction \( f(x) \) par rapport à \( x \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x + 2) = 2x - 3 \]
2. Ensuite, trouvons les points critiques en résolvant \( f'(x) = 0 \):
\[ 2x - 3 = 0 \]
\[ 2x = 3 \]
\[ x = \frac{3}{2} \]
3. Maintenant, pour déterminer si ce point critique est un minimum, un maximum ou un point d'inflexion, nous utilisons le test de la dérivée seconde. Calculons la dérivée seconde de \( f(x) \):
\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(x^2 - 3x + 2) = 2 \]
4. Évaluons la dérivée seconde en \( x = \frac{3}{2} \):
\[ f''\left(\frac{3}{2}\right) = 2 \]
Puisque la dérivée seconde est constante et positive, cela signifie que \( f(x) \) est convexe sur tout \( \mathbb{R} \). Par conséquent, le point critique \( x = \frac{3}{2} \) est un minimum global de la fonction \( f(x) \).
Donc, le minimum de la fonction \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \) sur \( \mathbb{R} \) est atteint en \( x = \frac{3}{2} \), et sa valeur est \( f\left(\frac{3}{2}\right) \). Calculons \( f\left(\frac{3}{2}\right) \):
\[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3\left(\frac{3}{2}\right) + 2 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 2 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{8}{4} = -\frac{1}{4} \]
Ainsi, le minimum de la fonction \( f(x) \) sur \( \mathbb{R} \) est \( -\frac{1}{4} \), et il est atteint en \( x = \frac{3}{2} \).
