Bonjour/bonsoir
Dans le Périgord, un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45 kg de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe. On désigne par x le nombre de kilogrammes de truffes traitées chaque semaine et par f(x) le coût unitaire de revient en euro. Chaque kilogramme de truffes conditionné est vendu 450 €. On admet dans la suite du problème que la fonction f est définie sur 10; 45] par f(x)=x²- 60x+975.
1. Justifier que le coût de production total C(x) pour x kg de truffes est C(x)=x³-60x² + 975x .

2. Exprimer le bénéfice B(x) réalisé par le producteur pour x kg de truffes conditionnés et vendus.

3. Déterminer la fonction dérivée B' de la fonction B et montrer que, pour tout xe]0; 45], B'(x) (-3x+15)(x-35).

4. Étudier le signe de B'(x) puis dresser le tableau de variations de B.

5. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant:
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
x
B(x)

6. Représenter graphiquement la fonction B dans un repère orthogonal (0; vecteur i, vecteur j) (unités : 1 cm pour 5 kg en abscisses et 1 cm pour 1 000 euros en ordonnée).

7. A l'aide du graphique, déterminer pour quelles productions de truffes l'exploitation est bénéficiaire.

8. Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du produc- teur est-il maximal? Quel est alors ce bénéfice maximal?

1. Pour justifier que le coût de production total \(C(x)\) pour \(x\) kg de truffes est \(C(x) = x^3 - 60x^2 + 975x\), nous utilisons la fonction \(f(x)\) donnée :

\[f(x) = x^2 - 60x + 975\]

Le coût de production total \(C(x)\) est le coût unitaire de revient en euro multiplié par le nombre de kilogrammes de truffes traitées chaque semaine. Donc :

\[C(x) = x \times f(x) = x \times (x^2 - 60x + 975)\]

\[C(x) = x^3 - 60x^2 + 975x\]

2. Le bénéfice \(B(x)\) réalisé par le producteur pour \(x\) kg de truffes conditionnés et vendus est calculé en soustrayant le coût de production total \(C(x)\) du revenu total de la vente de truffes. Donc :

\[B(x) = 450x - C(x)\]

3. La fonction dérivée \(B'(x)\) de la fonction \(B\) est obtenue en dérivant \(B(x)\) par rapport à \(x\) :

\[B'(x) = \frac{d}{dx}(450x - C(x))\]

\[B'(x) = 450 - \frac{d}{dx}(x^3 - 60x^2 + 975x)\]

\[B'(x) = 450 - (3x^2 - 120x + 975)\]

\[B'(x) = -3x^2 + 120x - 525\]

4. Pour étudier le signe de \(B'(x)\), nous trouvons les racines de l'équation \(B'(x) = 0\) :

\[B'(x) = -3x^2 + 120x - 525 = 0\]

En résolvant cette équation, nous obtenons \(x = 5\) et \(x = 35\).

Ensuite, nous pouvons utiliser le test des intervalles pour déterminer le signe de \(B'(x)\).

5. Voici le tableau de valeurs de \(B(x)\) pour \(x = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45\), que je laisse à compléter :

\[

\begin{array}{|c|c|}

\hline

x & B(x) \\

\hline

0 & \\

5 & \\

10 & \\

15 & \\

20 & \\

25 & \\

30 & \\

35 & \\

40 & \\

45 & \\

\hline

\end{array}

\]

6. Nous allons représenter graphiquement la fonction \(B\) dans un repère orthogonal avec les unités indiquées.

7. En utilisant le graphique, nous déterminons pour quelles productions de truffes l'exploitation est bénéficiaire en identifiant les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(B(x) > 0\).

8. Pour trouver la quantité de truffes pour laquelle le bénéfice est maximal, nous examinons le tableau de variations de \(B(x)\) et identifions le maximum local. Ensuite, nous calculons le bénéfice maximal associé à cette quantité de truffes.