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loulou2487
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Afin de conserver des biscuits de Noël, un grand magasin souhaite construire des boîtes en métal de forme cylindrique de contenance 1 L.
Pour cela, on étudie le patron de cette boîte, composée d'un rectangle et de deux disques (l'un pour le fond et l'autre pour le couvercle).
On note r le rayon, en cm, de la boîte et h sa hauteur, en cm.
1) Montrer que le volume de cette boîte est de 1 L, à condition que h vérifie
1 000
la relation : h =•
Tr2 •
2) Soit Q(r), la quantité de métal utilisé lors de la fabrication de cette boîte en
2 000
fonction de r. Montrer que @(r) = 2 mr2 +
r
3) Déterminer les valeurs du rayon r et la hauteur h de cette boîte permettant d'utiliser une quantité de métal minimale. On donnera les résultats sous forme de valeurs approchées à 10-2 cm près.

Afin de conserver des biscuits de Noël un grand magasin souhaite construire des boîtes en métal de forme cylindrique de contenance 1 L Pour cela on étudie le pa class=

Répondre :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ BONJOUR !!

■ hauteur de la boîte à partir du Volume :

   π R² * hauteur = 1ooo donc h ≈ 318,3 / R² .

■ Surface de métal :

  2 couvercles + cylindre = 2πR² + 2πR(318,3/R²)

                                          = 2πR² + 2π(318,3/R)

                                          = 2πR² + 2ooo/R .

■ étude de Q(R) = 2πR² + 2ooo/R :

  dérivée Q ' (R) = 4πR - 2ooo/R²

                cette dérivée est nulle pour 4πR³ = 2ooo

                                                            donc R ≈ 5,42 cm .

■ vérification :

  Q(5,42) ≈ 553,6 cm² --> 2 ronds de 92,3 cm² chacun

                                     --> un rectangle de 369 cm²

  Volume = 1ooo cm³ .

  Si on prend R = 5 cm : Q(5) ≈ 557 cm² ; et Volume = 1ooo cm³ .

■ conclusion :

   il faut R ≈ 5,42 cm ; et h ≈ 10,84 cm .

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