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Explications étape par étape:
Déterminer l’ensemble des valeurs de m pour que S et P existent :
Pour que la somme S et le produit P des solutions de l’équation du second degré existent, il faut que le discriminant Δ soit positif ou nul.
Le discriminant Δ est donné par : Δ = b² - 4ac
Avec a = 1, b = m+1 et c = -2m, on a : Δ = (m+1)² - 4(1)(-2m) Δ = m² + 2m + 1 + 8m Δ = m² + 10m + 1
Pour que Δ ≥ 0, il faut que m² + 10m + 1 ≥ 0.
Cela se traduit par : m ≥ -5 + √(25 - 4) / 2 = -5 + √21 / 2 ou m ≤ -5 - √(25 - 4) / 2 = -5 - √21 / 2
Donc l’ensemble des valeurs de m pour que S et P existent est : m ∈ [-5 - √21/2 ; -5 + √21/2].
Déterminer l’ensemble des valeurs de m pour que l’équation admet deux solutions :
a) de même signe : Pour que les solutions aient le même signe, il faut que Δ > 0 et que b et a aient le même signe. Ici, a = 1 > 0 et b = m+1, donc les solutions auront le même signe si m+1 > 0, soit m > -1.
b) de signe contraire : Pour que les solutions aient des signes contraires, il faut que Δ > 0 et que b et a aient des signes opposés. Ici, a = 1 > 0 et b = m+1, donc les solutions auront des signes contraires si m+1 < 0, soit m < -1.
c) opposées : Pour que les solutions soient opposées, il faut que Δ = 0, ce qui implique que b² = 4ac. Ici, a = 1, b = m+1 et c = -2m, donc Δ = 0 si (m+1)² = 4(-2m) = -8m. Cela se traduit par m = -1.
d) négatives : Pour que les solutions soient négatives, il faut que Δ > 0 et que les deux solutions soient négatives. Cela implique que b < 0 et a > 0, soit m+1 < 0 et 1 > 0, donc m < -1.
e) positives : Pour que les solutions soient positives, il faut que Δ > 0 et que les deux solutions soient positives. Cela implique que b > 0 et a > 0, soit m+1 > 0 et 1 > 0, donc m > -1.
Former une équation du second degré de la forme ax² + bx + c = 0 vérifiant S et P :
Soit l’équation ax² + bx + c = 0 avec a = 1, b = m+1 et c = -2m.
La somme des solutions est S = -b/a = -(m+1)/1 = -(m+1). Le produit des solutions est P = c/a = -2m/1 = -2m.
Donc l’équation du second degré vérifiant S et P est : x² + (m+1)x - 2m = 0.