Website Statistics ll PROG 138 PROG Une approximation de e On considère la fonction définie sur R par fx exx1 1 Étudier les variations de la fonction f sur R 2 a Montrer que pour

ll PROG
138 PROG Une approximation de e
On considère la fonction définie sur R par f(x)= ex-x-1.
1. Étudier les variations de la fonction f sur R.
2. a. Montrer que pour tout réel x, 1+x b. En déduire que si 0 1-x
3. a. Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2,
1+
n
1
1
1-
n
b. En déduire un encadrement du
4. a. Écrire et compléter le
programme ci-contre, afin que
la fonction e retourne les deux
bornes d'un intervalle d'ampli-
nombre e.
1 def e(p):
2
n=2
3
x=1/n
4
g=...
tude inférieure ou égale à p
5
d=...
6
contenant e.
a=d-g
7
b. Exécuter ce programme pour
while a>=p:
8
n=...
p = 10-7.
9
x=1/n
c. Comparer les résultats avec la
10
g=...
liste ci-dessous des premières
11
d=...
décimales de e.
12
a=d-g
13
return(g,d)
7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995: 50
9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274: 100
LE SAVIEZ-VOUS
Les ordinateurs permettent aujourd'hui de connaître un grand nombre de
décimales de e. Gerald Hofmann donne, en 2018, 8000 milliards de décimales
(après 28,5 jours de calculs).

Répondre :

Réponse:

D'accord, je vais vous aider à compléter le programme pour qu'il puisse encadrer la constante e. Voici comment je le compléterais :

```python

import math

def e(p):

n = 2

x = 1 / n

g = math.exp(1 - x) # borne inférieure

d = math.exp(1 + x) # borne supérieure

a = d - g

while a >= p:

n += 1

x = 1 / n

g = math.exp(1 - x)

d = math.exp(1 + x)

a = d - g

return g, d

p = 10**-7

intervalle = e(p)

print("Borne inférieure:", intervalle[0])

print("Borne supérieure:", intervalle[1])

```

Ce programme utilise la fonction `math.exp()` pour calculer les bornes inférieure et supérieure de l'intervalle contenant la constante e. Ensuite, il ajuste la précision de l'intervalle en augmentant progressivement le nombre de termes jusqu'à ce que la différence entre les bornes soit inférieure à la précision spécifiée. Enfin, il affiche les bornes de l'intervalle.

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