Exercice
Soit u une suite géométrique de raison q et de premier terme u₁ vérifiant les deux conditions suivantes:
•
Tous les termes de la suite u sont strictement négatifs.
La suite u est strictement croissante.
1) a) Exprimer q en fonction de Un+1 et un (indication: on rappelle que U+1=uxq).
1) b) Justifier que q>0 (indication: partir de l'égalité obtenue à la question 1) et s'appuyer sur l'une des
deux propriétés de la suite u données par l'énoncé).
1) c) Justifier que q<1 (indication: partir à nouveau de l'égalité obtenue à la question 1) mais utiliser
l'autre propriété donnée par l'énoncé).
4
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On vient ainsi de prouver que 0 9
9
2) a) Calculer dans un premier temps u₁₂.
b) Puis calculer u₁ et и3.
Indications
.
u s'obtient grâce à l'égalité u₁xu₁ = 14.
•
Les deux égalités suivantes peuvent être utiles lors du calcul de u₂:
(u‚³×q² = (u₁ ×q* et (4) = (³)².
•
•
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Une fois la valeur de u₂ connue, l'égalité u₁+u₁₂+3=—- permet d'obtenir l'égalité u₁+uz=...
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On a alors d'une part la somme u₁+u3 et d'autre part le produit de u₁XU.
On peut noter: Su₁+u3 et Pu₁XU3.
On fait un lien avec le « Second degré » (voir chapitre 1, partie VI « Somme et produit ») dans la
mesure où les nombres u₁ et u₁ sont alors les racines du polynôme du second degré x²-Sx+P,
avec S et P définis ci-dessus, ce qui permet de calculer u₁ et u₁.
2) b)bis Dès que la valeur de u₂ est connue (c'est-à-dire dès qu'on a répondu à la question 2)a)), une
deuxième méthode permettant de calculer u̟₁ еt u̟3 est envisageable.
Pouvez-vous calculer u₁ et u̟ d'une deuxième façon ?
Indications
.
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La deuxième méthode s'appuie également sur l'égalité u₁+U₂+U³=− mais utilise le fait que
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u₁+u₂+u est la somme de trois termes consécutifs d'une suite géométrique.
On gardera à l'esprit que 1-q3=13-q³ et on pourra utiliser l'identité remarquable ci-dessous:
pour tous réels a et b, a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²).