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Réponse:
Calcul de U1 et U2 :
U0 = 2
U1 = 3U0 + 2 / 2U0 + 3 = (3 × 2 + 2) / (2 × 2 + 3) = 8 / 7
U2 = 3U1 + 2 / 2U1 + 3 = (3 × 8/7 + 2) / (2 × 8/7 + 3) = 26/21
2a) Montrer que pour tout n appartenant à N, on a Un+1 - 1 = (Un - 1) / (2Un + 3) :
Un+1 = 3Un + 2 / 2Un + 3
Un+1 - 1 = (3Un + 2) / (2Un + 3) - 1
Un+1 - 1 = (3Un + 2 - 2Un - 3) / (2Un + 3)
Un+1 - 1 = (Un - 1) / (2Un + 3)
2b) Montrer par récurrence que pour tout n appartenant à N, Un > 1 :
Pour n = 0, U0 = 2 > 1, donc la propriété est vraie.
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain n, c’est-à-dire Un > 1.
Montrons qu’elle est alors vraie pour n+1 : Un+1 = 3Un + 2 / 2Un + 3 Comme Un > 1, on a 2Un + 3 > 5, donc Un+1 > 3 × 1 + 2 / 5 = 1.
Donc, pour tout n appartenant à N, on a Un > 1.
En résumé :
U1 = 8/7 et U2 = 26/21 2a) Pour tout n appartenant à N, on a Un+1 - 1 = (Un - 1) / (2Un + 3) 2b) Pour tout n appartenant à N, on a Un > 1