Nom Prénom : à rendre le : lundi 6 mai 24
DM
Exercice 1
Samia, une jeune ingénieure, fabrique des tablettes numériques et souhaite prendre le statut
d’auto-entrepreneure pour les commercialiser.
Elle estime qu’elle peut en fabriquer au maximum 50 par mois. Les coûts de production, en euros,
sont modélisés par la fonction C représentée dans le repère ci-dessous :
1) Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes et traduire chaque réponse par une
égalité de la forme C(x) = y :
a- Quel est le coût de production de 10 tablettes ? 18 tablettes ? 40 tablettes ?
b- Samia a dépensé 4000€ pour fabriquer des tablettes. Combien de tablettes a-t-elle fabriquées ?
c- La banque a prêté 6000 € à Samia. Combien peut-elle produire au maximum de tablettes avec
cet argent ?
d- Quels sont les coûts fixes de fabrication (c’est à dire les coûts même quand on ne produit
aucune tablette) ?
2) La fonction C est définie sur [0 ; 50] par : C(x) = – x2 + 200 x + 1 056.
a- En utilisant l’expression de C, calculer le coût de fabrication de 10 tablettes, puis de 18 tablettes.
Comparer avec les résultats trouvés dans le 1).
b- Calculer les coûts fixes.
3) Chaque tablette est vendue 220 €.
a- Calculer le prix de vente de 10 tablettes, puis de 18 tablettes.
b- On appelle R la fonction donnant la recette en euros correspondant à la vente de x tablettes.
Donner une expression de R(x).
c- Représenter la fonction R dans le repère ci-dessus.
d- Déterminer graphiquement le nombre minimal de tablettes que Samia doit produire et vendre
mensuellement pour gagner de l’argent. Justifier rapidement votre réponse.
4) Soit B la fonction bénéfice, c’est à dire la fonction définie sur [0 ; 50] par : B(x) = R(x) – C(x).
a- Justifier que B(x) peut s’écrire : B(x) = x2 + 20 x – 1 056 , pour tout réel x de [0 ; 50].
b- Compléter le tableau de valeurs de la fonction B :
x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
B(x)
c- Tracer dans le repère précédent la représentation graphique de la fonction B.
d- Comment peut-on retrouver le résultat de la question 3)d- ?
5) a- Vérifier que pour tout réel x de [0 ; 50] : B(x) = ( x + 10)² - 1156.
b- En déduire une factorisation de B(x).
c- Déterminer par le calcul le nombre de tablettes que Samia doit produire et vendre par mois
pour être à l’équilibre (c’est à dire qu’elle ne perd pas d’argent mais n’en gagne pas non plus).