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Réponse:
Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, nous devons démontrer que ses côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
1. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur.
- Comme I est le milieu de BC et D est le symétrique de A par rapport à I, nous avons AD = AI.
- De plus, ABC est un triangle rectangle en A, donc AD = AC (hypoténuse).
- Par conséquent, AC = AI.
2. Pour montrer que les côtés opposés sont parallèles, nous devons démontrer que AD est parallèle à BC et AB est parallèle à DC.
- Comme D est le symétrique de A par rapport à I, les droites AD et BC sont parallèles car la distance entre A et D est égale à la distance entre B et C, puisque D est le point symétrique de A par rapport à I, le milieu de BC.
- Ensuite, comme AB et DC sont des segments d'un même triangle, et que D est le symétrique de A par rapport à I, nous avons que AB et DC sont parallèles.
Puisque ABCD a ses côtés opposés de même longueur et parallèles, ABCD est un parallélogramme.