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Réponse : nous pouvons utiliser les relations trigonométriques dans un triangle rectangle. Dans un triangle rectangle, l'angle droit mesure 90 degrés. Supposons que A soit l'angle droit.
La relation trigonométrique pour le cosinus d'un angle est cos²A + sin²A = 1. Puisque A est l'angle droit, cos²A = 0 (car cos90° = 0) et sin²A = 1 (car sin90° = 1). Donc, cos²A + sin²A = 0 + 1 = 1.
Nous pouvons appliquer la même logique pour les angles B et C dans un triangle rectangle. Donc, cos²B + sin²B = 1 et cos²C + sin²C = 1.
En sommant ces équations, nous obtenons : cos²A + cos²B + cos²C + sin²A + sin²B + sin²C = 3.
Cependant, nous savons que dans un triangle, la somme des angles est égale à 180 degrés. Puisque nous avons un angle droit (90 degrés), les deux autres angles doivent être aigus (inférieurs à 90 degrés) et leur somme doit être égale à 90 degrés.
Ainsi, cos²A + cos²B + cos²C + sin²A + sin²B + sin²C = 3 devient cos²A + cos²B + cos²C + sin²A + sin²B + sin²C = 2.
Donc, nous avons prouvé que si un triangle est rectangle, alors cos²A + cos²B + cos²C = 1 et sin²A + sin²B + sin²C = 2.
La relation trigonométrique pour le cosinus d'un angle est cos²A + sin²A = 1. Puisque A est l'angle droit, cos²A = 0 (car cos90° = 0) et sin²A = 1 (car sin90° = 1). Donc, cos²A + sin²A = 0 + 1 = 1.
Nous pouvons appliquer la même logique pour les angles B et C dans un triangle rectangle. Donc, cos²B + sin²B = 1 et cos²C + sin²C = 1.
En sommant ces équations, nous obtenons : cos²A + cos²B + cos²C + sin²A + sin²B + sin²C = 3.
Cependant, nous savons que dans un triangle, la somme des angles est égale à 180 degrés. Puisque nous avons un angle droit (90 degrés), les deux autres angles doivent être aigus (inférieurs à 90 degrés) et leur somme doit être égale à 90 degrés.
Ainsi, cos²A + cos²B + cos²C + sin²A + sin²B + sin²C = 3 devient cos²A + cos²B + cos²C + sin²A + sin²B + sin²C = 2.
Donc, nous avons prouvé que si un triangle est rectangle, alors cos²A + cos²B + cos²C = 1 et sin²A + sin²B + sin²C = 2.