Répondre :
D'accord, je vais vous aider avec chaque partie :
1) Tableau de signes de la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = 3x - 4 \) :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-\infty & - \\
\hline
\frac{4}{3} & 0 \\
\hline
+\infty & + \\
\hline
\end{array}
\]
2) Tableau de signes de la fonction \( g \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( g(x) = -5x + 2 \) :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & g(x) \\
\hline
-\infty & + \\
\hline
\frac{2}{5} & 0 \\
\hline
+\infty & - \\
\hline
\end{array}
\]
3)
a) Pour résoudre \( h(x) = 0 \), nous égalons \( h(x) \) à zéro et résolvons pour \( x \) :
\[ h(x) = 0 \]
\[ (3x - 4)(-5x + 2) = 0 \]
\[ \text{Soit } 3x - 4 = 0 \text{ ou } -5x + 2 = 0 \]
En résolvant ces équations, nous obtenons \( x = \frac{4}{3} \) et \( x = \frac{2}{5} \).
b) Pour déterminer le signe de \( h \) pour \( x = 0, 1, \) et \( 2 \), nous évaluons \( h(x) \) pour chaque valeur de \( x \) :
- Pour \( x = 0 \), \( h(x) = (-4)(2) = -8 \), donc \( h \) est négatif.
- Pour \( x = 1 \), \( h(x) = (-1)(-3) = 3 \), donc \( h \) est positif.
- Pour \( x = 2 \), \( h(x) = (2)(-8) = -16 \), donc \( h \) est négatif.
c) Pour déterminer le signe de \( h \) lorsque \( x < \frac{4}{3} \) ou \( x > \frac{2}{5} \), nous pouvons utiliser les signes de \( f(x) \) et \( g(x) \) dans les intervalles appropriés :
- \( f(x) > 0 \) lorsque \( x > \frac{4}{3} \) et \( f(x) < 0 \) lorsque \( x < \frac{4}{3} \).
- \( g(x) < 0 \) lorsque \( x > \frac{2}{5} \) et \( g(x) > 0 \) lorsque \( x < \frac{2}{5} \).
Nous multiplions les signes de \( f(x) \) et \( g(x) \) pour obtenir le signe de \( h(x) \) :
- Pour \( x < \frac{4}{3} \), \( h(x) > 0 \) car le produit de deux nombres négatifs est positif.
- Pour \( \frac{4}{3} < x < \frac{2}{5} \), \( h(x) < 0 \) car le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif est négatif.
- Pour \( x > \frac{2}{5} \), \( h(x) > 0 \) car le produit de deux nombres négatifs est positif.
d) Tableau de signes de \( h \) :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & h(x) \\
\hline
-\infty & + \\
\hline
\frac{2}{5} & 0 \\
\hline
\frac{4}{3} & 0 \\
\hline
+\infty & + \\
\hline
\end{array}
\]
e) Les solutions de l'inéquation \( h(x) \geq 0 \) sont \( x \leq \frac{2}{5} \) et \( x \geq \frac{4}{3} \).
1) Tableau de signes de la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = 3x - 4 \) :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-\infty & - \\
\hline
\frac{4}{3} & 0 \\
\hline
+\infty & + \\
\hline
\end{array}
\]
2) Tableau de signes de la fonction \( g \) définie sur \( \mathbb{R} \) par \( g(x) = -5x + 2 \) :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & g(x) \\
\hline
-\infty & + \\
\hline
\frac{2}{5} & 0 \\
\hline
+\infty & - \\
\hline
\end{array}
\]
3)
a) Pour résoudre \( h(x) = 0 \), nous égalons \( h(x) \) à zéro et résolvons pour \( x \) :
\[ h(x) = 0 \]
\[ (3x - 4)(-5x + 2) = 0 \]
\[ \text{Soit } 3x - 4 = 0 \text{ ou } -5x + 2 = 0 \]
En résolvant ces équations, nous obtenons \( x = \frac{4}{3} \) et \( x = \frac{2}{5} \).
b) Pour déterminer le signe de \( h \) pour \( x = 0, 1, \) et \( 2 \), nous évaluons \( h(x) \) pour chaque valeur de \( x \) :
- Pour \( x = 0 \), \( h(x) = (-4)(2) = -8 \), donc \( h \) est négatif.
- Pour \( x = 1 \), \( h(x) = (-1)(-3) = 3 \), donc \( h \) est positif.
- Pour \( x = 2 \), \( h(x) = (2)(-8) = -16 \), donc \( h \) est négatif.
c) Pour déterminer le signe de \( h \) lorsque \( x < \frac{4}{3} \) ou \( x > \frac{2}{5} \), nous pouvons utiliser les signes de \( f(x) \) et \( g(x) \) dans les intervalles appropriés :
- \( f(x) > 0 \) lorsque \( x > \frac{4}{3} \) et \( f(x) < 0 \) lorsque \( x < \frac{4}{3} \).
- \( g(x) < 0 \) lorsque \( x > \frac{2}{5} \) et \( g(x) > 0 \) lorsque \( x < \frac{2}{5} \).
Nous multiplions les signes de \( f(x) \) et \( g(x) \) pour obtenir le signe de \( h(x) \) :
- Pour \( x < \frac{4}{3} \), \( h(x) > 0 \) car le produit de deux nombres négatifs est positif.
- Pour \( \frac{4}{3} < x < \frac{2}{5} \), \( h(x) < 0 \) car le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif est négatif.
- Pour \( x > \frac{2}{5} \), \( h(x) > 0 \) car le produit de deux nombres négatifs est positif.
d) Tableau de signes de \( h \) :
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & h(x) \\
\hline
-\infty & + \\
\hline
\frac{2}{5} & 0 \\
\hline
\frac{4}{3} & 0 \\
\hline
+\infty & + \\
\hline
\end{array}
\]
e) Les solutions de l'inéquation \( h(x) \geq 0 \) sont \( x \leq \frac{2}{5} \) et \( x \geq \frac{4}{3} \).