Répondre :
D'accord, voici les réponses dans un langage plus courant :
1) Pour trouver les coordonnées de M, on utilise la formule : AM - 2AC = 0.
Tout d'abord, on calcule les vecteurs AM et AC :
AM = (x + 3, y + 2)
AC = (1, 3)
Ensuite, on multiplie AC par 2 :
2AC = (2, 6)
Donc, AM - 2AC = (x + 3 - 2, y + 2 - 6) = (x + 1, y - 4)
Comme AM - 2AC = 0, cela signifie que (x + 1, y - 4) = (0, 0), donc les coordonnées de M sont x = -1 et y = 4.
2) Pour trouver les coordonnées de N, on utilise la formule : 3\overline{AN} + 2\overline{BN} = \overline{0}.
a) On calcule d'abord les vecteurs AN et BN :
AN = (x + 3, y + 2)
BN = (x - 7, y - 3)
Ensuite, on multiplie ces vecteurs par les coefficients donnés :
3\overline{AN} = (3x + 9, 3y + 6)
2\overline{BN} = (2x - 14, 2y - 6)
On additionne ensuite ces deux vecteurs :
3\overline{AN} + 2\overline{BN} = (5x - 5, 5y)
Comme ce vecteur est égal à \overline{0}, cela donne les coordonnées de N : x = 1 et y = 0.
b) Pour écrire \overrightarrow{AN} en fonction de \overrightarrow{AB}, on utilise la relation de Chasles :
\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}
Comme \overrightarrow{AB} = (10, 5), on a :
\overrightarrow{AN} = (x + 3, y + 2).
3) Pour trouver les coordonnées de P, le milieu de [BC], on calcule la moyenne des coordonnées de B et C :
x_P = (7 - 2) / 2 = 5 / 2 = 2.5
y_P = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2
Donc, les coordonnées de P sont (2.5, 2).
4) Pour montrer que les points M, N et P sont alignés, on peut voir que le vecteur \overrightarrow{MP} est un multiple du vecteur \overrightarrow{NP}.
Calculons d'abord \overrightarrow{MP} :
\overrightarrow{MP} = (3.5, -2)
Ensuite, calculons \overrightarrow{NP} :
\overrightarrow{NP} = (1.5, 2)
On remarque que le vecteur \overrightarrow{MP} est 2 fois plus grand que \overrightarrow{NP}, donc les points M, N et P sont alignés.