Cédric achète régulièrement des livres et il va régulièrement au cinéma. On appelle x le nombre de livres qu'il achète chaque année et y le nombre de séances de cinéma auxquelles il assiste chaque année. Comme il aime autant aller au cinéma que lire un livre, on évalue son niveau de satisfaction avec la fonction S définie par :
S(x; Y) = XXY
où les réels x et y sont strictement positifs. Plus ce nombre est grand, plus Cédric est satisfait.
1. Quel est le niveau de satisfaction de Cédric dans chaque situation :
a. Il achète 3 livres et il va 2 fois au cinéma.
b. Il achète 1 livre et il va 4 fois au cinéma.
2. Quelle situation apporte le plus de satisfaction à Cédric ?
3. Comparer S(x; y) et S(y; x). Traduire cette comparaison avec les données de l'énoncé.
4. On appelle courbe d'indifférence de niveau k l'ensemble des points M de coordonnées (x;y) tels que S(x; y) = k, le réel k correspondant à un niveau de satisfaction de Cédric. Vérifier que la courbe d'indifférence de niveau 5 a pour
equation:y =
5
5. Cédric consacre un budget annuel de 100 € pour le cinéma et la lecture. On considère qu'un livre de poche coûte 5 € et qu'une place de cinéma coûte 6 €.
a. Peut-il acheter 6 livres et aller 8 fois au cinéma ?
b. Lorsque Cédric dépense son budget maximal, justifier que x et y doivent vérifier l'équation: 5x + 6y = 100.
c. On admet que cette équation peut être représentée graphiquement par une droite (d). Montrer que (d) admet pour équation réduite : y =-
5
9
x + 50
d. Tracer cette droite dans un graphique.
6. Avec ce budget de 100 €, Cédric peut-il avoir un niveau de satisfaction de 30 ? Si oui, pour quelles valeurs de x et de y ? Même question avec le niveau de satisfaction de 70.