Répondre :
Dans cet exercice, nous allons devoir exprimer sous forme d'une fonction du second degré l'air de la zone et étudier l'évolution de cette fonction afin de trouver l'aire maximale.
Soit x la largeur du rectangle et y sa longueur.
L'aire de la zone est Aire = x * y
Le périmètre de la zone correspond à la longueur du cordon.
Donc, x + y + x + y = 400
Soit 2(x + y) = 400
Soit x + y = 200
Nous allons devoir exprimer l'aire en fonction de x uniquement.
Nous avons un système de deux équations à deux inconnues (x et y) :
Aire = x * y
x + y = 200
La deuxième équation nous permet d'exprimer y en fonction de x :
y = 200 - x
Il nous suffit de remplacer y par 200 - x dans la première équation.
Nous allons noter A(x) le calcul de l'aire de la plage en fonction de la largeur x du rectangle.
[tex]A(x) = x * (200 - x) = 200x - x^{2}[/tex]
Pour étudier l'évolution de cette fonction, nous allons dériver la fonction A et étudier son signe.
A'(x) = 200 - 2x
A ce stade de l'exercice, il faut faire un tableau d'évolution. Mais l'interface n'étant pas pratique, je vais résumer par quelques phrases.
A'(x) > 0 pour x appartenant à [0;100[
A'(x) = 0 pour x = 100
A'(x) < 0 pour x appartenant à ]100;200]
Donc A est strictement croissante sur [0;100] et strictement décroissante sur [100;200]
A atteint son maximum pour x = 100.
Et A(100) = 10000 [tex]m^{2}[/tex]
La zone doit donc être un carré de 100m de côté afin que l'aire de la zone soit maximale.