A l'aide d'un système de deux équations à deux inconnues, résoudre les problèmes ci- dessous en expliquant votre démarche pour les exercices 2 et 3 : 2 Au bar de la poste, 5 amis profitent de la terrasse au soleil. Ils ont commandé 2 cafés et 3 thés. Le serveur leur demande 10,10€. Ils sont rejoints par 4 amis qui commandent 3 cafés et 1 thé. Cette fois-ci, le serveur leur demande 7,10€. Afin que les amis puissent payer chacun leur part, déterminer le prix d'un thé et le prix d'un café. 4 5 3 Amira va faire les boutiques. Elle achète dans un même magasin deux tee-shirts et une jupe pour 119,70€. La semaine suivante, elle reçoit un texto du magasin pour des ventes privées réduction de 50% pour les tee- shirts et de 30% sur les jupes. Elle décide de faire des cadeaux à sa mère et ses sœurs et achète 6 tee-shirts et 2 jupes. Elle paye 173,56 €. Quelle somme ces ventes privées lui ont-elles fait éco- nomiser ? Donner un vecteur directeur et un point de la droite d d'équation. 1)-x+y=3 2) 12x+25y-7=0 3) y -7x= -8 4)-2x+1 = 0 5) y = 2x - 5 6)+y-1=0 3 Déterminer une équation cartésienne de la droite : 1) d₁ passant par A(4; -1) et de vecteur directeur (32) 2) d2 passant par B(0; 0) et de vecteur directeur ㅎ 5

Pour résoudre ces problèmes à l'aide de systèmes d'équations linéaires, nous allons utiliser les méthodes de substitution ou d'élimination pour trouver les valeurs des inconnues.

**Problème 2 (Au bar de la poste)**

Soit \( x \) le prix d'un café et \( y \) le prix d'un thé.

Première équation basée sur la première commande :
\[ 2x + 3y = 10.10 \]

Deuxième équation basée sur la deuxième commande :
\[ 3x + y = 7.10 \]

Nous allons résoudre ce système pour \( x \) et \( y \).

1. Multiplions la deuxième équation par 3 pour éliminer \( y \) :
\[ 9x + 3y = 21.30 \]

2. Soustrayons la première équation de cette nouvelle équation :
\[ (9x + 3y) - (2x + 3y) = 21.30 - 10.10 \]
\[ 7x = 11.20 \]

3. Résolvons pour \( x \) :
\[ x = \frac{11.20}{7} \]
\[ x = 1.60 \]

Maintenant, substituons \( x = 1.60 \) dans la première équation pour trouver \( y \) :
\[ 2(1.60) + 3y = 10.10 \]
\[ 3.20 + 3y = 10.10 \]
\[ 3y = 6.90 \]
\[ y = \frac{6.90}{3} \]
\[ y = 2.30 \]

Donc, le prix d'un café est \( 1.60 € \) et le prix d'un thé est \( 2.30 € \).

**Problème 3 (Amira va faire les boutiques)**

Soit \( x \) le prix initial d'un tee-shirt et \( y \) le prix initial d'une jupe.

Première équation basée sur la première transaction :
\[ 2x + y = 119.70 \]

Après la réduction de prix :
\[ x' = \frac{x}{2} \quad \text{(prix réduit du tee-shirt)} \]
\[ y' = 0.7y \quad \text{(prix réduit de la jupe)} \]

Deuxième équation basée sur la deuxième transaction après réduction :
\[ 6x' + 2y' = 173.56 \]

En substituant \( x' \) et \( y' \) :
\[ 6\left(\frac{x}{2}\right) + 2(0.7y) = 173.56 \]
\[ 3x + 1.4y = 173.56 \]

Maintenant, nous résolvons ce système pour \( x \) et \( y \).

Cela peut être résolu par substitution ou élimination. Je vais utiliser l'élimination :

1. Multiplions la première équation par 1.4 :
\[ 2.8x + 1.4y = 167.58 \]

2. Soustrayons la deuxième équation de cette nouvelle équation :
\[ (3x + 1.4y) - (2.8x + 1.4y) = 173.56 - 167.58 \]
\[ 0.2x = 5.98 \]

3. Résolvons pour \( x \) :
\[ x = \frac{5.98}{0.2} \]
\[ x = 29.9 \]

Maintenant, substituons \( x = 29.9 \) dans la première équation pour trouver \( y \) :
\[ 2(29.9) + y = 119.70 \]
\[ 59.8 + y = 119.70 \]
\[ y = 119.70 - 59.8 \]
\[ y = 59.90 \]

Donc, le prix initial d'un tee-shirt est \( 29.9 € \) et le prix initial d'une jupe est \( 59.90 € \).

Pour le reste des questions concernant les vecteurs directeurs et les équations cartésiennes des droites, il faudrait plus d'informations sur les vecteurs donnés pour les droites \( d_1 \) et \( d_2 \) pour fournir les réponses correspondantes.