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Explications étape par étape :
Bonjour !
a) Pour vérifier que la fonction f est périodique de période 8, nous allons utiliser la propriété suivante : une fonction f est périodique de période T si f(x + T) = f(x) pour tout x dans le domaine de définition de f.
Dans notre cas, nous avons f(x) = 3sin(π/4*x). Pour vérifier que la fonction est périodique de période 8, nous allons évaluer f(x + 8) :
f(x + 8) = 3sin(π/4*(x + 8)) = 3sin(π/4*x + 2π) = 3sin(π/4*x) = f(x)
Donc, la fonction f est périodique de période 8.
b) Pour étudier la parité de la fonction f, nous allons utiliser la définition suivante : une fonction f est paire si f(-x) = f(x) pour tout x dans le domaine de définition de f, et impair si f(-x) = -f(x) pour tout x dans le domaine de définition de f.
Dans notre cas, nous avons f(x) = 3sin(π/4*x). Pour étudier la parité de la fonction, nous allons évaluer f(-x) :
f(-x) = 3sin(π/4*(-x)) = 3sin(-π/4*x) = -3sin(π/4*x) = -f(x)
Donc, la fonction f est impair.
c) Pour tracer la courbe représentative de f sur l'intervalle [-4;12] à partir du tracé sur l'intervalle [0;4], nous allons utiliser les transformations suivantes :
* Translation à gauche de 4 unités : f(x) → f(x - 4)
* Réflexion par rapport à l'axe des abscisses : f(x) → -f(-x)
En appliquant ces transformations, nous obtenons :
f(x - 4) = 3sin(π/4*(x - 4)) = 3sin(π/4*x - π) = -3sin(π/4*x) = -f(x)
Donc, la courbe représentative de f sur l'intervalle [-4;12] est obtenue en réfléchissant la courbe représentative de f sur l'intervalle [0;4] par rapport à l'axe des abscisses et en la traduisant à gauche de 4 unités.