Répondre :
Commençons par répondre à chaque question :
a) Pour une fonction affine \( g(x) = ax + b \), le coefficient \( a \) est le coefficient de \( x \). Sachant que \( g(-1) = 4 \), nous pouvons utiliser ce point pour trouver \( a \). Donc :
\[ g(-1) = a(-1) + b = 4 \]
\[ -a + b = 4 \]
b) En utilisant le point \( F(-4,-5) \), nous avons :
\[ g(-4) = a(-4) + b = -5 \]
\[ -4a + b = -5 \]
Nous avons maintenant un système de deux équations avec deux inconnues \( a \) et \( b \). Résolvons-le :
En ajoutant les deux équations obtenues précédemment :
\[ (-a + b) + (-4a + b) = 4 - 5 \]
\[ -5a + 2b = -1 \]
Maintenant, trouvons \( a \) en isolant \( b \) dans l'une des équations précédentes, puis en substituant dans cette équation :
\[ b = 4 + a \]
\[ -5a + 2(4 + a) = -1 \]
\[ -5a + 8 + 2a = -1 \]
\[ -3a + 8 = -1 \]
\[ -3a = -1 - 8 \]
\[ -3a = -9 \]
\[ a = \frac{-9}{-3} \]
\[ a = 3 \]
Maintenant que nous avons \( a \), nous pouvons trouver \( b \) en substituant \( a \) dans l'une des équations originales, par exemple :
\[ -a + b = 4 \]
\[ -3 + b = 4 \]
\[ b = 4 + 3 \]
\[ b = 7 \]
Donc, \( a = 3 \) et \( b = 7 \), ce qui nous donne la fonction affine \( g(x) = 3x + 7 \).
c) Pour calculer les images des nombres par la fonction affine \( g \), il suffit de substituer les valeurs de \( x \) dans l'expression de \( g(x) \). Donc :
- \( g(0) = 3(0) + 7 = 7 \)
- \( g(-1) = 3(-1) + 7 = 4 \)
- \( g(11) = 3(11) + 7 = 33 + 7 = 40 \)
- \( g(2\sqrt{7} - 1) = 3(2\sqrt{7} - 1) + 7 = 6\sqrt{7} - 3 + 7 = 6\sqrt{7} + 4 \)
d) Pour déterminer le nombre \( y \) dont l'image par la fonction affine \( g \) est 2017, nous devons résoudre l'équation \( g(x) = 2017 \). Substituons \( g(x) = 3x + 7 \) dans l'équation :
\[ 3x + 7 = 2017 \]
\[ 3x = 2017 - 7 \]
\[ 3x = 2010 \]
\[ x = \frac{2010}{3} \]
\[ x = 670 \]
Donc, le nombre \( y \) dont l'image par \( g \) est 2017 est 670.
e) Pour tracer la droite \( d' \), nous utilisons les points que nous avons déjà : \( (-1,4) \) et \( (-4,-5) \). Ces deux points suffisent pour tracer la droite, car elle est une fonction affine. La droite passera à travers ces deux points.
f) Pour résoudre l'équation \( g(x) = 0 \), nous substituons \( g(x) = 3x + 7 \) dans l'équation :
\[ 3x + 7 = 0 \]
\[ 3x = -7 \]
\[ x = \frac{-7}{3} \]
Donc, la solution de l'équation \( g(x) = 0 \) est \( x = \frac{-7}{3} \).
a) Pour une fonction affine \( g(x) = ax + b \), le coefficient \( a \) est le coefficient de \( x \). Sachant que \( g(-1) = 4 \), nous pouvons utiliser ce point pour trouver \( a \). Donc :
\[ g(-1) = a(-1) + b = 4 \]
\[ -a + b = 4 \]
b) En utilisant le point \( F(-4,-5) \), nous avons :
\[ g(-4) = a(-4) + b = -5 \]
\[ -4a + b = -5 \]
Nous avons maintenant un système de deux équations avec deux inconnues \( a \) et \( b \). Résolvons-le :
En ajoutant les deux équations obtenues précédemment :
\[ (-a + b) + (-4a + b) = 4 - 5 \]
\[ -5a + 2b = -1 \]
Maintenant, trouvons \( a \) en isolant \( b \) dans l'une des équations précédentes, puis en substituant dans cette équation :
\[ b = 4 + a \]
\[ -5a + 2(4 + a) = -1 \]
\[ -5a + 8 + 2a = -1 \]
\[ -3a + 8 = -1 \]
\[ -3a = -1 - 8 \]
\[ -3a = -9 \]
\[ a = \frac{-9}{-3} \]
\[ a = 3 \]
Maintenant que nous avons \( a \), nous pouvons trouver \( b \) en substituant \( a \) dans l'une des équations originales, par exemple :
\[ -a + b = 4 \]
\[ -3 + b = 4 \]
\[ b = 4 + 3 \]
\[ b = 7 \]
Donc, \( a = 3 \) et \( b = 7 \), ce qui nous donne la fonction affine \( g(x) = 3x + 7 \).
c) Pour calculer les images des nombres par la fonction affine \( g \), il suffit de substituer les valeurs de \( x \) dans l'expression de \( g(x) \). Donc :
- \( g(0) = 3(0) + 7 = 7 \)
- \( g(-1) = 3(-1) + 7 = 4 \)
- \( g(11) = 3(11) + 7 = 33 + 7 = 40 \)
- \( g(2\sqrt{7} - 1) = 3(2\sqrt{7} - 1) + 7 = 6\sqrt{7} - 3 + 7 = 6\sqrt{7} + 4 \)
d) Pour déterminer le nombre \( y \) dont l'image par la fonction affine \( g \) est 2017, nous devons résoudre l'équation \( g(x) = 2017 \). Substituons \( g(x) = 3x + 7 \) dans l'équation :
\[ 3x + 7 = 2017 \]
\[ 3x = 2017 - 7 \]
\[ 3x = 2010 \]
\[ x = \frac{2010}{3} \]
\[ x = 670 \]
Donc, le nombre \( y \) dont l'image par \( g \) est 2017 est 670.
e) Pour tracer la droite \( d' \), nous utilisons les points que nous avons déjà : \( (-1,4) \) et \( (-4,-5) \). Ces deux points suffisent pour tracer la droite, car elle est une fonction affine. La droite passera à travers ces deux points.
f) Pour résoudre l'équation \( g(x) = 0 \), nous substituons \( g(x) = 3x + 7 \) dans l'équation :
\[ 3x + 7 = 0 \]
\[ 3x = -7 \]
\[ x = \frac{-7}{3} \]
Donc, la solution de l'équation \( g(x) = 0 \) est \( x = \frac{-7}{3} \).