Exercice: 89 page 138
1. a. Donner l'expression de la surface S de l'enclos en
Pour son chaton, Virgile désire construire un enclos pro- fonction de L et h.
visoire ayant la forme d'un pavé droit sans fond ni toit.
La longueur de l'enclos est (-1 m, la largeur est notée
L et la hauteur h.
Il possède 5 m² de contreplaqué et désire utiliser la
totalité.
AIDE
Ne pas oublier que l'enclos n'a pas de fond ni de toit.
5
b. Montrer que 0 2. Sachant que Virgile veut un enclos avec une hauteur
comprise entre 0,5 m et 1 m, déterminer un encadre-
ment de L.
h 3. Écrire h en fonction de L puis déterminer une
expression du volume de l'enclos en fonction de L.
4. Sachant que Virgile veut un enclos avec un volume
compris entre 1 m³ et 1,5 m³, déterminer un nouvel
encadrement de L.
5. Est-il possible d'appliquer les deux contraintes?

La surface de l'enclos est égale à la somme de la surface du sol et de la surface des parois. Comme l'enclos n'a pas de fond ni de toit, la surface du sol est nulle. La surface des parois est égale à la somme des surfaces des quatre parois :

S = 2(L × h) + 2((-1) × h) = 2Lh - 2h = 2Lh - 2h

Simplifiant l'expression, nous obtenons :

S = 2Lh - 2h = 2Lh - 2h + 2h = 2Lh

Donc, l'expression de la surface S de l'enclos est : S = 2Lh.

1. b. Montrer que 0 < h < 1 :

Virgile veut un enclos avec une hauteur comprise entre 0,5 m et 1 m, donc :

0,5 < h < 1

2. Déterminer un encadrement de L :

Pour déterminer un encadrement de L, nous devons utiliser l'expression de la surface S de l'enclos : S = 2Lh.

Nous savons que la surface S est égale à 5 m², donc :

2Lh = 5

Divisant les deux côtés par 2, nous obtenons :

Lh = 2,5

Comme la hauteur h est comprise entre 0,5 m et 1 m, nous pouvons écrire un encadrement de L :

0,5 < h < 1 => 0,5L < 2,5 < L

Donc, l'encadrement de L est : 0,5L < L < 5.

3. Écrire h en fonction de L puis déterminer une expression du volume de l'enclos en fonction de L :

Nous savons que la surface S est égale à 5 m², donc :

2Lh = 5

Divisant les deux côtés par 2L, nous obtenons :

h = 5/2L

Le volume du enclos est égal à la hauteur h multipliée par la longueur L et la largeur L :

V = L × L × h = L² × (5/2L) = 5L/2

Donc, l'expression du volume de l'enclos en fonction de L est : V = 5L/2.

4. Sachant que Virgile veut un enclos avec un volume compris entre 1 m³ et 1,5 m³, déterminer un nouvel encadrement de L :

Nous savons que le volume V est égal à 5L/2, donc :

1 < 5L/2 < 1,5

Multipliant les deux côtés par 2, nous obtenons :

2 < 5L < 3

Divisant les deux côtés par 5, nous obtenons :

0,4 < L < 0,6

Donc, l'encadrement de L est : 0,4 < L < 0,6.

5. Est-il possible d'appliquer les deux contraintes ? :

Nous avons déterminé deux encadrements de L : 0,5L < L < 5 et 0,4 < L < 0,6.

Les deux encadrements ne sont pas compatibles, car 0,5L < L < 5 est incompatible avec 0,4 < L < 0,6.

Donc, il n'est pas possible d'appliquer les deux contraintes.

voilà