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Une entreprise fabrique un produit dont le coût de fabrication, Ct, en milliers d'euros, dépend de la quantité q, en tonnes, de produit fabriqué.


Le coût Ct est modélisé par la fonction. Ct(q) = q^3 -12q^2 +60q, avec q, en tonne, compris entre 0 et 10.

1. Déterminer Ct'(q) et vérifier que Ct'(q) = 3(q-4)²+12

2. En déduire les variations de Ct sur [0:10]

Le coût moyen d'une tonne de produit CM est donné par la fonction CM(q) = Ct(q)/q avec q>0

3. Calculer CM(4) et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Donner l'expression de CM en fonction de q

5. Déterminer la quantité fabriquée pour laquelle le cout moyen sera minimal.

On rappelle que le cout marginal est le cout généré par la fabrication d'une unité supplémentaire. Il peut se calculer en dérivant la fonction modélisant le cout total. On a donc CT'(q)=Cm(q).

6. Déterminer l'expression algébrique de Cm(q)

7. Résoudre, sur l'intervalle ] 0; 10] l'équation Cm(q) = CM(q)

8. Le cout moyen est-il minimal lorsque le cout marginal l'est également ?​