Exercice A
1) Un jeu consiste à lancer 3 fois une pièce parfaitement équilibrée. Le joueur gagne 100 euros s'il obtient trois fois pile. Sinon il perd 1 euro. Soit X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur.
* Représenter à l'aide d'un arbre les issues de cette expérience aléatoire.
* Donner la loi de probabilité de X.
* Le jeu est-il favorable au joueur ?
2) Dans cette question, la pièce est lancée n fois, n étant un nombre entier naturel non nul. Le joueur gagne 100 euros s'il obtient n fois pile; sinon le joueur perd 1 euro. On note la variable aléatoire donnant le gain du joueur
a) Justifier que P(Xn = 100) = 1/2*n
* Calculer E(Xn).
* A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier naturel n tel que le jeu soit défavorable au joueur.
Exercice B
Une urne contient 50 jetons de couleurs bleue, rouge ou jaune. 10 % des jetons sont bleus, il y a trois fois plus de jetons jaunes que de jetons bleus. Un joueur tire un jeton au hasard.
* S'il est rouge, il remporte le gain de base.
S'il est jaune, il remporte le carré du gain de base.
* S'il est bleu, il perd le cube du gain de base.
On note X le gain à ce jeu.
1) On suppose que le gain de base est 2 euros.
* Déterminer la loi de probabilité de X.
* Calculer le gain moyen que l'on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.
2) On cherche à déterminer la valeur du gain de base g0, telle que le gain moyen réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d'euro. Soit x le gain de base en euros.
a) Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction f définie sur [ 0; +infini [ par f(x) = -0, 12x³ + 0,34² + 0,6x.
* Étudier le sens de variation de f sur l'intervalle [0; +infini[
* Conclure.