Bien sûr, je vais vous aider avec chaque partie de votre question.
1. Pour déterminer le nombre de segments lors des quatre premières étapes, observez que chaque segment initial est divisé en quatre segments de même longueur à chaque étape. Donc, le nombre de segments lors des quatre premières étapes sera :
- Étape 0 (triangle initial) : 3 segments
- Étape 1 : 3 * 4 = 12 segments
- Étape 2 : 12 * 4 = 48 segments
- Étape 3 : 48 * 4 = 192 segments
- Étape 4 : 192 * 4 = 768 segments
2. Pour déterminer l'expression du nombre de segments présents à l'étape n, observez que le nombre de segments double à chaque étape. Donc, l'expression générale est : \( 3 \times 4^n \).
3. Pour déterminer la longueur de chaque segment de la figure lors des quatre premières étapes, observez que chaque segment initial est divisé en trois segments de même longueur à chaque étape. Donc, la longueur de chaque segment lors des quatre premières étapes sera constante et égale à 1.
4. Pour déterminer l'expression de la longueur de chaque segment présente à l'étape n, comme chaque segment est divisé en trois segments de même longueur à chaque étape, la longueur de chaque segment sera \( \frac{1}{3^n} \).
5. Pour déterminer le périmètre total de la figure à l'étape n, multipliez le nombre de segments présents à l'étape n par la longueur de chaque segment. Donc, le périmètre total à l'étape n sera : \( 3 \times 4^n \times \frac{1}{3^n} \). Cela simplifie à \( 4^n \) (puisque \( 3 \times \frac{1}{3} = 1 \)).
Maintenant, étudions la variation du périmètre et déterminons à quelle étape le périmètre aura triplé. Le périmètre triplera lorsqu'il sera trois fois plus grand qu'à l'étape précédente, donc à l'étape où le périmètre sera \( 3 \times 4^{n-1} \). Cela signifie que \( 4^n = 3 \times 4^{n-1} \). Divisons les deux côtés par \( 4^{n-1} \) pour trouver \( 4 = 3 \). Donc, le périmètre triplera à l'étape n lorsque \( n = 2 \).
J'espère que cela vous aide ! Si vous avez d'autres questions ou besoin de plus de détails, n'hésitez pas à demander.
