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Réponse:
Voici les étapes pour répondre à vos questions.
### Étape 1: Construction du triangle ABC
Pour tracer le triangle ABC avec des côtés donnés, vous pouvez suivre ces étapes :
1. **Tracer la base BC** :
- Prenez une règle et tracez une ligne droite de longueur 7 cm, nommez les extrémités comme étant B et C.
2. **Placer le point A** :
- Utilisez un compas. Mettez la pointe du compas sur le point B et tracez un arc de cercle d'une longueur de 5,6 cm.
- Placez maintenant la pointe du compas sur le point C et tracez un arc de cercle d'une longueur de 4,2 cm.
- Le point d'intersection entre les deux arcs est le point A.
3. **Tracer les segments AB et AC** :
- Reliez le point A au point B et le point A au point C.
Maintenant, vous avez le triangle ABC avec les côtés donnés.
### Étape 2: Vérifier si ABC est un triangle rectangle
Pour déterminer si ABC est un triangle rectangle, nous utilisons le théorème de Pythagore. Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2\), alors le triangle est rectangle.
- Calculez \(AB^2 = 4,2 \times 4,2 = 17,64\) cm².
- Calculez \(AC^2 = 5,6 \times 5,6 = 31,36\) cm².
- Calculez \(BC^2 = 7 \times 7 = 49\) cm².
Si \(17,64 + 31,36 = 49\), alors le triangle ABC est rectangle.
En additionnant \(17,64 + 31,36 = 49\), ce qui confirme que le triangle ABC est un triangle rectangle, avec l'angle droit en A.
### Étape 3: Calculer l'aire du triangle ABC
Pour calculer l'aire d'un triangle, utilisez la formule \((\text{base} \times \text{hauteur}) / 2\). Dans un triangle rectangle, l'une des catheti est la base et l'autre est la hauteur. Ainsi, l'aire du triangle ABC est :
\[ \text{Aire} = (BC \times AC) / 2 = (7 \times 5,6) / 2 = 19,6 \, \text{cm}^2 \]
Pour convertir en mm², il faut se rappeler qu'il y a 100 mm² dans 1 cm². Ainsi,
\[ 19,6 \times 100 = 1960 \, \text{mm}^2 \]
### Étape 4: Calculer le rayon du cercle circonscrit à ABC
La formule pour le rayon du cercle circonscrit est donnée par :
\[ R = \frac{a \times b \times c}{4 \times \text{aire}} \]
Où \(a = BC = 7\) cm, \(b = AC = 5,6\) cm, \(c = AB = 4,2\) cm, et l'aire a été calculée à \(19,6\) cm².
Utilisez cette formule pour calculer \(R\):
\[ R = \frac{7 \times 5,6 \times 4,2}{4 \times 19,6} = \frac{164,64}{78,4} \approx 2,1 \, \text{cm} \]
### Étape 5: Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC
Pour tracer le cercle circonscrit, vous devez trouver le centre du cercle appelé le circumcentre. Dans un triangle rectangle, le circumcentre est le milieu de l'hypoténuse.
- Mesurez la longueur de l'hypoténuse \(BC\) (qui est de 7 cm).
- Trouvez le milieu en divisant par deux, c'est-à-dire à \(3,5\) cm.
- Utilisez un compas avec le rayon calculé (environ 2,1 cm), placez le compas sur le milieu de \(BC\), et tracez le cercle qui doit passer par les trois sommets du triangle ABC.
Cela vous donnera le cercle circonscrit au triangle ABC.