Réponse:
Pour démontrer que \( B'(x) = -3(x-3)(x-17) \), nous allons calculer la dérivée de \( B(x) \) et simplifier l'expression obtenue pour montrer qu'elle est équivalente à l'expression donnée.
La fonction \( B(x) = x^3 + 30x^2 - 153x - 100 \).
Calculons la dérivée de \( B(x) \) par rapport à \( x \), notée \( B'(x) \):
\[ B'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(30x^2) - \frac{d}{dx}(153x) - \frac{d}{dx}(100) \]
\[ B'(x) = 3x^2 + 60x - 153 \]
Nous devons maintenant simplifier cette expression:
\[ B'(x) = 3x^2 + 60x - 153 \]
\[ B'(x) = 3(x^2 + 20x - 51) \]
Pour obtenir la forme factorisée, nous devons trouver deux nombres qui multipliés donnent -51 et qui additionnés donnent 20. Ces nombres sont 17 et -3.
Donc:
\[ B'(x) = 3(x - 3)(x - 17) \]
Ainsi, nous avons démontré que \( B'(x) = -3(x - 3)(x - 17) \).
