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Explications étape par étape:
1°) Pour démontrer que JK = (BA + AC) = BC, nous allons utiliser les propriétés des triangles et des segments.
Tout d'abord, nous savons que J est le milieu de AB, ce qui signifie que AJ = JB. De plus, K est le milieu de AC, donc AK = KC.
En utilisant la propriété des segments parallèles et égaux, nous pouvons dire que BA = AC (car ils sont les deux côtés opposés aux angles droits).
Maintenant, nous pouvons écrire :
JK = AJ + AK
JK = (BA + AC) + KC
Comme BA = AC, nous avons :
JK = (BA + AC) + KC
JK = (BA + BA) + KC
JK = 2BA + KC
Nous savons également que BC = 2BA (car AB et BC sont perpendiculaires), donc :
JK = 2BA + KC
JK = 2(BC/2) + KC
JK = BC + KC
Finalement, nous avons :
JK = BA + AC
JK = BC
Donc, JK est égal à la longueur du segment BC.
2°) Maintenant, pour démontrer que les vecteurs JK et BC sont colinéaires et que les droites (JK) et (BC) sont parallèles, nous allons utiliser une autre propriété des vecteurs.
Les vecteurs JK et BC sont colinéaires si leurs composantes correspondantes sont égales. Nous allons donc comparer les composantes de ces vecteurs.
Le vecteur JK peut être écrit comme suit :
JK = J - K
Le vecteur BC peut être écrit comme suit :
BC = B - C
Maintenant, comparons les composantes correspondantes :
- La composante x de JK est Jx - Kx.
- La composante y de JK est Jy - Ky.
- La composante x de BC est Bx - Cx.
- La composante y de BC est By - Cy.
Puisque J et K sont les milieux respectifs de AB et AC, nous avons Jx - Kx = Bx/2 - Cx/2. De même,
Jy - Ky= By/2 - Cy/2.
Puisque Bx/2 - Cx/2= By/2 - Cy/2=