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Coût unitaire et rentabilité
Calculer
Partie A
On considère la fonction définie sur [0,5; 8] par:
f(x)=(-4x^2-5)e^-x +3.
On note 6, la courbe représentative de la fonction f
dans un repère.
On note f' la fonction dérivée de la fonction ƒ sur l'in-
tervalle [0,5; 8].
1. Démontrer que, pour tout x réel de [0,5; 8], on a :
f'(x)=(4x^2-8x-5)e^-x
2. Étudier le signe de la fonction f' sur l'intervalle [0,5; 8]
et en déduire les variations de f.
3. On considère l'équation f(x) = 3.
Déterminer par le calcul son unique solution.x, dans
l'intervalle [0,5; 8]. En donner une valeur approchée
à 10^-2 près.
Partie B
Une entreprise produit de la peinture qu'elle vend
ensuite en totalité.
Le coût moyen unitaire de production peut être modé-
lisé par la fonction f de la partie A: pour x hectolitres
de peinture fabriqués (avec x E [0,5; 8]), le nombre
f(x) désigne le coût moyen unitaire de production par
hectolitre de peinture (coût moyen de production pour
un hectolitre de peinture), exprimé en centaine d'euros
(on rappelle qu'un hectolitre est égal à 100 litres).
Dans la suite de l'exercice, on utilisera ce modèle. On
pourra utiliser les résultats de la partie A.
1. Déterminer le coût moyen unitaire de production
en euro, arrondi à l'euro près, pour une production de
500 litres de peinture.
2. Combien de litres de peinture l'entreprise doit-elle
produire pour minimiser le coût moyen unitaire de pro-
duction? Quel est alors ce coût, arrondi à l'euro près ?
3. Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé
à 100 €. A l'aide de la question précédente, déterminer
si l'entreprise peut réaliser des bénéfices.
4. Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé
à 300 €.
On appelle seuil de rentabilité la quantité à partir de
laquelle la production est rentable, c'est-à-dire qu'elle
permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice.
Quel est le seuil de rentabilité pour cette entreprise?