Bonjour pouvez-vous m’aider svp !
Exercice 1
Une commune dispose de 380 voitures et propose un système de locations de ces voitures
selon les modalités suivantes :
.
chaque voiture est louée pour une durée d'un mois;
⚫ la location commence le 1er jour du mois et se termine le dernier jour du même mois;
.
le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.
À la fin du mois de janvier 2019, 280 voitures ont été louées avec ce système de location.
Le responsable de ce système souhaite étudier l'évolution du nombre de locations de voitures.
Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite (un), où, pour
tout entier naturel n, un représente le nombre de voitures louées le n-ième mois après le mois
de janvier 2019. Ainsi uo = 280.
On admet que cette modélisation conduit à l'égalité : un+1 = 0,9u +42. Um = No xqm = 280
1) Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février
2019 ?
Vmy Vox q
2) Pour tout entier naturel n, on pose : v=u, -420. Montrer que la suite (V.) est Vo
géométrique. On précisera le premier terme vo et la raison.
3) Pour tout entier naturel n, exprimer vn en fonction de n et montrer que
un-140×0,9 +420.
On admet qu'au bout d'un temps long, le nombre de voitures louées semble se stabiliser
autour de 420.
4) La commune, qui possède initialement 380 véhicules, envisage d'acheter des voitures
supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir
à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant. On souhaite utiliser l'algorithme
python ci-dessous :
n=0
u = 280
while....................
n = n+1
u=...Out.2..
print (.............)
a) Recopier et compléter le programme
b) En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.

Bien sûr, je vais vous aider avec cet exercice.

1) Au mois de février 2019, nous devons calculer \( u_2 \). Nous avons la relation de récurrence \( u_{n+1} = 0.9u_n + 42 \). Donc :
\[ u_2 = 0.9 \times u_1 + 42 = 0.9 \times 280 + 42 = 252 + 42 = 294 \]

Donc, au mois de février 2019, 294 voitures ont été louées.

2) Pour montrer que la suite \( (v_n) \) est géométrique, on doit vérifier si \( \frac{v_{n+1}}{v_n} \) est constante. Calculons \( \frac{v_{n+1}}{v_n} \) :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{u_{n+1} - 420}{u_n - 420} \]

En utilisant la relation \( u_{n+1} = 0.9u_n + 42 \), on peut réécrire ceci comme :
\[ \frac{0.9u_n + 42 - 420}{u_n - 420} = \frac{0.9(u_n - 420)}{u_n - 420} = 0.9 \]

Donc, \( (v_n) \) est une suite géométrique avec le premier terme \( v_0 = u_0 - 420 = 280 - 420 = -140 \) et la raison \( q = 0.9 \).

3) Pour exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \), on utilise la formule de la suite géométrique :
\[ v_n = v_0 \times q^n = -140 \times 0.9^n \]

Maintenant, pour montrer que \( u_n = 140 \times 0.9^n + 420 \), nous utilisons la relation \( v_n = u_n - 420 \) :
\[ u_n = v_n + 420 = -140 \times 0.9^n + 420 \]

4) Pour prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant, nous devons trouver la première valeur de \( n \) pour laquelle \( u_n < 380 \). Voici l'algorithme Python :

```python
n = 0
u = 280
while u >= 380:
n = n + 1
u = 140 * 0.9 ** n + 420
print("La commune devra augmenter le nombre de voitures à partir du mois", n)
```

Cet algorithme trouvera la valeur de \( n \) à partir de laquelle le nombre de voitures louées \( u \) devient inférieur à 380. Le mois correspondant sera celui où la commune devra augmenter le nombre de voitures.