Répondre :
Pour dresser le tableau de variations de la fonction \( f(x) = \frac{{2(2x^2 + x + 6)}}{{(4x + 1)^2}} \), nous devons suivre quelques étapes :
1. Trouver les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
2. Identifier les extrema locaux en calculant les dérivées première et seconde de la fonction.
3. Analyser le signe de la dérivée première pour déterminer les variations de la fonction sur chaque intervalle.
Commençons par trouver les dérivées première et seconde de \( f(x) \) :
\[ f'(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{2(2x^2 + x + 6)}}{{(4x + 1)^2}}\right) \]
En utilisant la règle du quotient et la dérivée de \( (4x + 1)^2 \), nous obtenons :
\[ f'(x) = \frac{{8x^2 + 8x + 16(2x + 1) - 8(4x + 1)(2x^2 + x + 6)}}{{(4x + 1)^3}} \]
Simplifions cela pour obtenir :
\[ f'(x) = \frac{{-24x^2 - 16x + 16}}{{(4x + 1)^3}} \]
Ensuite, pour la dérivée seconde \( f''(x) \), nous dérivons à nouveau \( f'(x) \) :
\[ f''(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{-24x^2 - 16x + 16}}{{(4x + 1)^3}}\right) \]
Après quelques calculs, nous obtenons :
\[ f''(x) = \frac{{-64(1 - 12x^2)}}{{(4x + 1)^4}} \]
Maintenant, regardons où la fonction est croissante ou décroissante. Pour cela, nous devons trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f'(x) = 0 \) et analyser les intervalles entre ces valeurs.
En résolvant \( f'(x) = 0 \), nous trouvons que \( x = -\frac{1}{12} \). Cette valeur divise le domaine de \( f(x) \) en deux intervalles : \( x < -\frac{1}{12} \) et \( x > -\frac{1}{12} \).
Ensuite, nous devons analyser le signe de \( f'(x) \) dans chaque intervalle pour déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
Pour \( x < -\frac{1}{12} \), \( f'(x) \) est positif, donc la fonction est croissante dans cet intervalle.
Pour \( x > -\frac{1}{12} \), \( f'(x) \) est négatif, donc la fonction est décroissante dans cet intervalle.
Maintenant, nous pouvons utiliser le test de la dérivée seconde pour confirmer la nature des extrema locaux.
Si \( f''(x) > 0 \), alors la fonction est concave vers le haut et l'extremum local est un minimum.
Si \( f''(x) < 0 \), alors la fonction est concave vers le bas et l'extremum local est un maximum.
En évaluant \( f''(x) \) autour de la valeur critique \( x = -\frac{1}{12} \), nous constatons que \( f''(-\frac{1}{12}) > 0 \), donc il s'agit d'un minimum local.
Ainsi, nous avons :
- Minimum local à \( x = -\frac{1}{12} \).
En résumé, le tableau de variations de la fonction \( f(x) \) est le suivant :
\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
x < -\frac{1}{12} & \text{Croissante, atteint un minimum local à } x = -\frac{1}{12} \\
x > -\frac{1}{12} & \text{Décroissante}
\end{array}
\]
1. Trouver les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante.
2. Identifier les extrema locaux en calculant les dérivées première et seconde de la fonction.
3. Analyser le signe de la dérivée première pour déterminer les variations de la fonction sur chaque intervalle.
Commençons par trouver les dérivées première et seconde de \( f(x) \) :
\[ f'(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{2(2x^2 + x + 6)}}{{(4x + 1)^2}}\right) \]
En utilisant la règle du quotient et la dérivée de \( (4x + 1)^2 \), nous obtenons :
\[ f'(x) = \frac{{8x^2 + 8x + 16(2x + 1) - 8(4x + 1)(2x^2 + x + 6)}}{{(4x + 1)^3}} \]
Simplifions cela pour obtenir :
\[ f'(x) = \frac{{-24x^2 - 16x + 16}}{{(4x + 1)^3}} \]
Ensuite, pour la dérivée seconde \( f''(x) \), nous dérivons à nouveau \( f'(x) \) :
\[ f''(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{-24x^2 - 16x + 16}}{{(4x + 1)^3}}\right) \]
Après quelques calculs, nous obtenons :
\[ f''(x) = \frac{{-64(1 - 12x^2)}}{{(4x + 1)^4}} \]
Maintenant, regardons où la fonction est croissante ou décroissante. Pour cela, nous devons trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f'(x) = 0 \) et analyser les intervalles entre ces valeurs.
En résolvant \( f'(x) = 0 \), nous trouvons que \( x = -\frac{1}{12} \). Cette valeur divise le domaine de \( f(x) \) en deux intervalles : \( x < -\frac{1}{12} \) et \( x > -\frac{1}{12} \).
Ensuite, nous devons analyser le signe de \( f'(x) \) dans chaque intervalle pour déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
Pour \( x < -\frac{1}{12} \), \( f'(x) \) est positif, donc la fonction est croissante dans cet intervalle.
Pour \( x > -\frac{1}{12} \), \( f'(x) \) est négatif, donc la fonction est décroissante dans cet intervalle.
Maintenant, nous pouvons utiliser le test de la dérivée seconde pour confirmer la nature des extrema locaux.
Si \( f''(x) > 0 \), alors la fonction est concave vers le haut et l'extremum local est un minimum.
Si \( f''(x) < 0 \), alors la fonction est concave vers le bas et l'extremum local est un maximum.
En évaluant \( f''(x) \) autour de la valeur critique \( x = -\frac{1}{12} \), nous constatons que \( f''(-\frac{1}{12}) > 0 \), donc il s'agit d'un minimum local.
Ainsi, nous avons :
- Minimum local à \( x = -\frac{1}{12} \).
En résumé, le tableau de variations de la fonction \( f(x) \) est le suivant :
\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
x < -\frac{1}{12} & \text{Croissante, atteint un minimum local à } x = -\frac{1}{12} \\
x > -\frac{1}{12} & \text{Décroissante}
\end{array}
\]