Répondre :
Bonjour,
[tex] \\ [/tex]
Réponse:
[tex] \Large{\boxed{\sf \lim_{x\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}e^{x} - x \right) = + \infty}} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Explications:
Nous allons ici tenter de déterminer la limite de la fonction g quand x tend vers + ∞.
[tex] \\ [/tex]
Pour cela, rien de bien compliqué (à condition de savoir le faire, évidemment).
Tout d'abord, je te propose de voir comment on pourrait écrire la fonction g sous une forme qui nous conviendrait un peu mieux:
[tex] \sf g(x) = \dfrac{1}{2}e^x - x = \dfrac{1}{2}e^x - \dfrac{2x}{2} = \dfrac{1}{2}(e^x - 2x) [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Je continue de "trafiquer" cette expression en remarquant que [tex] \dfrac{x}{x} =1 :[/tex]
[tex] \sf g(x) = \dfrac{1}{2} \ast \underbrace{\sf\dfrac{x}{x}}_{\sf =1} \ast (e^x - 2x) = \dfrac{x}{2}(\dfrac{e^x}{x} - 2) [/tex]
[tex] \\ [/tex]
Et c'est là que les connaissances du cours font leur apparition:
Nous allons avoir besoin d'un résultat normalement vu en cours qui, grosso modo dit que, "en +∞, [tex] \sf e^x [/tex] grandit beaucoup plus vite que x."
Cette formulation est très peu rigoureuse mais néanmoins illustre plutôt bien l'idée.
On dit alors que, par croissance comparée, on a:
[tex] \sf \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = + \infty [/tex]
[tex] \\ [/tex]
D'où:
[tex] \sf \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{e^x}{x} - 2 \right) = + \infty [/tex]
[tex] \\ [/tex]
D'autre part, on a:
[tex] \sf \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2} = \infty [/tex]
[tex] \\ [/tex]
On trouve alors:
[tex] \sf \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2} \left( e^x - x \right) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2} \left( \dfrac{e^x}{x} - 2\right) \\ \\ \sf = + \infty \ast + \infty = + \infty \\ \\ \\ \rightarrow \boxed{\boxed{\sf \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{2} \left( e^x - x \right) = + \infty}} [/tex]