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Réponse:
Pour démontrer l'égalité, commencez par factoriser -2e^2 + e + 1 :
-2e^2 + e + 1 = -2e^2 - 2e + 3e + 1
= -2e(e + 1) + (e + 1)
= (e + 1)(-2e + 1)
= (2e + 1)(1 - e).
Maintenant, pour déduire le signe de -2e^2x + e + 1 sur R, considérez les signes de ses facteurs : (2e + 1) et (1 - e).
Pour (2e + 1), lorsque e > -1/2, 2e + 1 > 0. Sinon, lorsque e < -1/2, 2e + 1 < 0.
Pour (1 - e), lorsque e < 1, 1 - e > 0. Sinon, lorsque e > 1, 1 - e < 0.
Ainsi, pour e dans l'intervalle (-∞, -1/2), -2e^2x + e + 1 > 0.
Pour e dans l'intervalle (-1/2, 1), -2e^2x + e + 1 < 0.
Et pour e dans l'intervalle (1, +∞), -2e^2x + e + 1 > 0.