On considère le carré ABCD ci-contre et un point E mobile appartenant à la dia- gonale BD]. On note J, H, I et G les projetés orthogonaux respectifs de E sur les côtes [ABI, [BC], [CD] et [DA] du carré. On note x la longueur AJ.
1. a. Lire sur la figure les coordonnées des points A, B, C et D.
b. Préciser à quel intervalle appartient x.
2. Justifier que le quadrilatère AJEG est un rectangle. On admet que EHCI est aussi un rectangle.
3. a. Déterminer l'équation réduite de la droite (BD).
b. En déduire les coordonnées de E en fonction de x.
c. Montrer que la somme S(x) des aires des rectangles AJEG et EHCI est égale à -2x2 + 6x. d. Déterminer les coordonnées de E pour que S(x) soit maximale.
4. On considère la droite d, perpendiculaire à (BD) en E, elle coupe [AB] en Met BC] en N. Déterminer les coordonnées de E telles que la somme des aires des trapèzes AMEG et CIEN soit maximale.