Exercice 2:
Une ville compte 10000 habitants. A 8 heures du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle.
On note f(t) la fréquence des personnes connaissant la rumeur à l'instant 1, exprimé en heure. On choisit 8
heures comme instant initial t=0. La nouvelle se répand dans la ville de sorte que la vitesse de propagation
f’(t) est proportionnelle à la fréquence de ceux qui connaissent la nouvelle et à la fréquence de ceux qui ne la
connaissent pas. On admet que le coefficient de proportionnalité est 1,15.
1) Montrer que la fonction fest solution de l'équation différentielle y' = 1,15y(1-y) telle que ƒ (0)=0,01
et définie sur [0; +l’infini[.
2) On suppose que ƒ (t) ne s'annule pas. Soit g la fonction définie sur [0; +l’infini[ par g (1) = 1/f(t)
a) Montrer que la fonction g est solution de l'équation différentielle z'=-1,15z+1,15.
b) En déduire l'expression de g(t), puis de f(t).
3) Etudier le sens de variation de la fonction f.
4) Déterminer la limite de la fonction f en + l’infini.
5) Combien de personnes connaissent la nouvelle à midi?
6) Donner une approximation à 0,01 près de l'instant en lequel 99% de la population connaîtra la rumeur.