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1) Soit \( O \) un point du plan et pour chaque entier naturel \( n \) non nul, on note \( C_n \) le cercle de centre \( O \) dont le rayon mesure \( n \) cm. Montrons que les rayons des cercles forment une suite arithmétique.
La raison de la suite arithmétique est \( 1 \), car à chaque étape, le rayon augmente de \( 1 \) cm. Le premier terme est \( 1 \) car le premier cercle a un rayon de \( 1 \) cm.
2) Pour chaque entier naturel \( n \) non nul, on note \( A_n \) l'aire en \( cm^2 \) du disque de rayon \( n \). La suite \( (A_n) \) est-elle arithmétique ?
Non, la suite \( (A_n) \) n'est pas arithmétique. Les aires des disques augmentent quadratiquement avec le rayon selon la formule \( A_n = \pi n^2 \), donc la différence entre les termes successifs n'est pas constante.
3) On note \( S_1 \) l'aire du disque de rayon \( 1 \) cm (\( S_1 = 4 \)) et, pour chaque entier naturel \( n>2 \), on note \( S_n \) l'aire de la couronne délimitée par les cercles \( C_n \) et \( C_{n-1} \).
a) Démontrons que la suite \( (S_n) \) est une suite arithmétique.
La différence entre les aires de deux couronnes consécutives est constante car la différence entre les aires de deux cercles consécutifs est constante (selon la partie 1), et donc la différence entre les aires de deux couronnes consécutives est \( \pi (n^2 - (n-1)^2) = \pi (2n - 1) \). Donc, la suite \( (S_n) \) est arithmétique avec une raison de \( \pi (2n - 1) \).
b) Pour déterminer l'aire de la couronne délimitée par les cercles \( C_{12} \) et \( C_{11} \), nous utilisons la formule \( S_n = \pi n^2 \) pour trouver les aires des cercles et ensuite nous soustrayons l'aire du cercle intérieur de l'aire du cercle extérieur. Ainsi,
\[
S_{12} - S_{11} = \pi \cdot 12^2 - \pi \cdot 11^2 = \pi (12^2 - 11^2) = \pi (2 \cdot 12 - 1) = \pi \cdot 23.
\]
Donc, l'aire de la couronne délimitée par les cercles \( C_{12} \) et \( C_{11} \) est \( \pi \cdot 23 \) \( cm^2 \).
En ce qui concerne le comportement d'une suite arithmétique, la différence entre les termes consécutifs est constante. Cela signifie que si vous ajoutez ou soustrayez cette différence à chaque terme, vous obtiendrez le terme suivant dans la suite.
La raison de la suite arithmétique est \( 1 \), car à chaque étape, le rayon augmente de \( 1 \) cm. Le premier terme est \( 1 \) car le premier cercle a un rayon de \( 1 \) cm.
2) Pour chaque entier naturel \( n \) non nul, on note \( A_n \) l'aire en \( cm^2 \) du disque de rayon \( n \). La suite \( (A_n) \) est-elle arithmétique ?
Non, la suite \( (A_n) \) n'est pas arithmétique. Les aires des disques augmentent quadratiquement avec le rayon selon la formule \( A_n = \pi n^2 \), donc la différence entre les termes successifs n'est pas constante.
3) On note \( S_1 \) l'aire du disque de rayon \( 1 \) cm (\( S_1 = 4 \)) et, pour chaque entier naturel \( n>2 \), on note \( S_n \) l'aire de la couronne délimitée par les cercles \( C_n \) et \( C_{n-1} \).
a) Démontrons que la suite \( (S_n) \) est une suite arithmétique.
La différence entre les aires de deux couronnes consécutives est constante car la différence entre les aires de deux cercles consécutifs est constante (selon la partie 1), et donc la différence entre les aires de deux couronnes consécutives est \( \pi (n^2 - (n-1)^2) = \pi (2n - 1) \). Donc, la suite \( (S_n) \) est arithmétique avec une raison de \( \pi (2n - 1) \).
b) Pour déterminer l'aire de la couronne délimitée par les cercles \( C_{12} \) et \( C_{11} \), nous utilisons la formule \( S_n = \pi n^2 \) pour trouver les aires des cercles et ensuite nous soustrayons l'aire du cercle intérieur de l'aire du cercle extérieur. Ainsi,
\[
S_{12} - S_{11} = \pi \cdot 12^2 - \pi \cdot 11^2 = \pi (12^2 - 11^2) = \pi (2 \cdot 12 - 1) = \pi \cdot 23.
\]
Donc, l'aire de la couronne délimitée par les cercles \( C_{12} \) et \( C_{11} \) est \( \pi \cdot 23 \) \( cm^2 \).
En ce qui concerne le comportement d'une suite arithmétique, la différence entre les termes consécutifs est constante. Cela signifie que si vous ajoutez ou soustrayez cette différence à chaque terme, vous obtiendrez le terme suivant dans la suite.