Exercice 1.
Escherichia Coli est une bactérie située dans la dernière partie des intestins des humains et des animaux à sang chaud. Ce sont des bactéries nécessaires à la bonne digestion des aliments, mais certaines souches particulières peuvent être nocives et causer des infections.
Nous savons que le temps de doublement du nombre d’Escherichia Coli (et donc pour une population entière) est d’environ 20 minutes et que la population au temps t (en heures) est donnée par la fonction :
() = × avec k constante réelle et où est la population à l’instant initial.
On rappelle que 20 minutes correspondent à d’heure et que la population double en 20 minutes.
1. Justifier que la constante k vaut 3ln(2).
2. Trouvez le nombre d’Escherichia Coli qui se développent à partir d’une seule
bactérie en 7 heures.
3. Après combien de temps, à partir de t = 0 heure, la population atteint-t-elle
90 000 unités, en supposant que = ?
4. Calculer la dérivée de P avec = et en déduire la vitesse à laquelle la population de bactéries croît au fil du temps aux moments :
t = 20 minutes et t = 1 heure
Exercice 2.
Un bateau B1 se déplace à vitesse constante dans un repère orthonormé.
Sa position initiale (pour t = 0) est A (-8, -1) et il se déplace en ligne droite uniformément
dans la direction ⃗ (4). Après une heure, il atteint le point B(-4, 0).
Un autre bateau B2 est situé pour t = 0 en C(-5, 6) et il se déplace à vitesse constante. Et à l’instant t = 1 il est situé en D(-0,5 ; 4).
Toutes les distances sont km, le temps t est mesuré en heures.
1. Déterminer une représentation paramétrique du mouvement rectiligne de B1.
2. Calculer la vitesse moyenne du bateau B1 en km/h.
3. Donner les coordonnées de B1 après deux heures de trajet.
4. Déterminer une représentation paramétrique du mouvement rectiligne de B2.
5. Calculer la vitesse moyenne de B2 en km/h.
6. Calculer les coordonnées du point d’intersection des deux trajectoires.
7. Calculer aussi l’angle formé par les deux droites correspondantes aux deux trajectoires.
8. Le rivage est représenté par la droite d’équation x+y +10=0 Calculer la distance de B2 au rivage en t=10.